Mavzuning dolzarbligi, maqsadi va vazifalari 2-9

§2.4.Rikkati differensial tenglamasi.

Umumlashgan Rikkati tenglamasi deb ushbu tenglamani aytiladi:

(2.16)

Bunda P, Q, R berilgan bo’lib, ular x ning funksiyalaridan iboratdir.

P=0 bo’lsa, (2.16) tenglamadan

Birinchi tartibli chiziqli tenglama hosil bo’ladi.

Agar R=0 bo’lsa, ushbu Bernulli differensial tenglamasi hosil bo’ladi:

(2.16) ni quyidagicha yozib olaylik

(2,17)

(2.17) tenglamaning o’ng tomoni

sohada aniqlangan va uzluksiz bo’lib,y bo’yicha uzluksiz differensiallanuvchi,chunki

O’ng tomondagi funksiya D sohada aniqlangan va uzluksiz funksiya D sohada aniqlangan va uzluksiz funksiyadan iboratdir. Demak D sohada Koshi teoremasining shartlari o’rinli. D sohaning ixtiyoriy olingan , nuqtasidan Rikkati tenglamasining bitta integral chizig’i o’tadi.

2.2-Teorema. Agar (2.16) Rikkati tenglamasining bitta xususiy yechimi ma’lum bo’lsa, bu tenglama kvadraturalarda integrallanadi.

Isboti. Faraz qilaylik funksiya (2.16) tenglamaning biror xususiy yechimi bo’lsin, ya’ni:

(2.18)

Ayniyat o’rinli bo’ladi.

Endi y=y₁+z ko’rinishdagi almashtirish bajaramiz:

bo’ladi.

(2.18) tenglikka asosan z no’malumni toppish uchun esa

Tenglamaga ega bo’lamiz, bu esa Bernulli differensial tenglamasidan iborat bo’lib, ikkita kvadratura bilan integrallanadi. Tenglamani har ikkala tomonini ga bo’lib, so’ngra

(2.19)

almashtirish bajarsak:

(2.20)

bo’ladi. Bu chiziqli tenglamaning umumiy integrali

(2.21)

ko’rinishda bo’ladi. Endi eski o’zgaruvchiga

tenglik orqali qaytsak, (2.16) tenglamaning umumiy yechimi quyidagicha bo’ladi:

1. Misol. tenglama Rikkati differensial tenglamasi bo’lib, uning xususiy yechimini ko’rinishda izlash maqsadga muvofiqdir. Bundan

Bundan ekanligi kelib chiqadi. Ravshanki

Ham berilgan tenglamaning xususiy yechimi bo’ladi.

Agar ni olsak, u holda

Almashtirish bajarib, tegishli Bernulli tenglamasi

ko’rinishda bo’ladi.

Endi desak, tenglamaga kelamiz. Bu esa o’zgaruvchilari ajraladigan differensial tenglamadir. Uning umumiy yechimi:

ko’rinishda bo’lib,

Almashtirishlar yordamida berilgan Rikkati tenglamasining umumiy yechimi ushbu ko’rinishda bo’ladi:

(C=const)

2-misol. tenglama Rikkati tenglamasining tipidan bo’lib, bunda

da aniqlangan uzluksiz funksiyalardir.

funksiya tenglamani qanoatlantirishini tekshirib ko’rish qiyin emas. Shuning uchun,

Almashtirish bajarsak,bundan

Bularni berilgan tenglamaga qo`yilsa , ushbu Bernulli tenglamasini hosil qilamiz :

Bu tenglamani integrallash uchun ikkala tomonini z ga bo`lib , so`ngra

deb faraz qilamiz , bundan ushbu chiziqli tenglamani hosil qilamiz ;

Bu tenglamaning umumiy yechimi esa

bo`ladi.

bo`lgani uchun

bundan

, (C=const)

Berilgan tenglamaning umumiy integrali shuning o`zi bo`lib, u ixtiyoriy o`zgarmasga nisbatan chiziqli ratsional funksiyadan iboratdir.

§ 25: Arqonning sirpanishi haqidagi masala.

Masala. Arqon stol ustida yotibdi, uning uchlaridan biri stol ustidan a masofada bo`lgan silliq bilok orqali o`tgazilgan. Boshlang`ich momentda 2a uzunlikdagi arqon bo`lagi blokning narigi tomonida erkin osilib turibdi. Arqonning bu uchining harakat tezligi v ni s yo`lga bog`liq ravishda toping, bunday harakatda ishqalanish qarshiligi tezlik kvadratiga teng deb qabul qilinadi.

Yechilishi: Agar blokni yo`lning sanoq boshi sifatida tanlab olsak va Os o`qni pastga yo`naltirsak, Nyutonning ikkinchi qonuni m bizning holda ushbu differinsial tenglamaga olib keladi :

Bu yerda g-og`irlik kuchi tezlanishi .

Bo’lgani uchun tenglamani quyidagicha yozish mumkin :

Bu esa Bernulli differensial tenglamasidir.

, ,

Almashtirishni bajarsak, oxirgi tenglama quyidagi ko`rinishdagi chiziqli tenglamaga keladi;

.

Bu tenglamaning umumiy yechimi tenglama bo`yicha topamiz;

Z= =

=

S=2a da v=0 boshlang`ich shartdan C=-4g ni topamiz, natijada xususiy integral ushbu ko`rinishda bo`ladi:

.

Qavis ichidagi ifodani ko`paytuvchilarga ajratish mumkin;

= .

Shunday qilib , v ni s ga bog`liq holda hosil qilamiz:

.

Harakat tekis tezlanuvchan ekanligini isbot qilamiz. Buning uchun hosil qilingan tenglikning ikkala tomonini kvadratga ko`taramiz va t bo`yicha diferensiallaymiz. Natijada

,

Biroq va

Shuning uchun

,

Shuni isbot qilish kerak edi.

Xulosa

1. 
   Birinchi tartibli differensial tenglamalarning muhim sinflaridan biri Bernulli differensial tenglamasi va uni yechishda muhim rol o`ynaydigan birinchi tartibli chiziqli differensial tenglamani yechishni turli usullarini o`rganish muhim ahamiyatga egadir.
   
2. 
   Bitiruv malakaviy ishida chiziqli tenglamalarning yechishning Eyler- Bernulli va Lagranj usullari bayon etiladi va bu usullar konkret misollarni yechishda tadbiq etiladi.
   
3. 
   Bernulli differensial tenglamasini yechimini mavjudligi va yagonaligi haqidagi teoremaning isboti keltiriladi, shuningdek bu tenglamaning maxsus yechimi masalasi ham o`rganiladi.
   
4. 
   Bernulli differensial tenglamasiga keltirib yechiladigan tenglamalarning sinflari (Darbu, Yakobi va Rikkate differensial tenglamalari) o`rganiladi va bu hollarga doir konkret misollarni yechish ko`rsatiladi.
   
5. 
   Bernulli differensial tenglamasiga keltirib yechiladigan fizikayiy masala (argonning sirpanishi haqida masala ) o`rganiladi va uni yechishi bayon etiladi.
   

Adabiyotlar .

1. Salahiddinov M. S. Nasriddinov G.N. Oddiy differinsial tenglamalar,

Toshkent, ,,O`zbekiston’’, 1994 y

2. Qori – Niyoziy T.N. Tanlangan asarlar, 4-tom, Differinsial tenglamalar,

Fan, Toshkent, 1968 y

3. 
   Pontryachin L.S.Obknovenne differinsial uravneniya, M.1969 y
   
4. 
   Stepanov V. V Kurs differinsial uravneniy, Giz.fiz.mat. literature, 1958
   
5. 
   Yerugen N.P.i.dr. Kurs obknobennx differinsialnx uravneniy, Kiev, 1974 y
   
6. 
   Trikomi F. Differinsialne uravneniya, Izd. I.L. M.1962 y
   

3. 
   Samoylenko A. M. i.dr Differinsialne uravneniya; premir i zadachi, M 1989 y
   
4. 
   Guter R.S. Yanpoliskiy A.R.Differinsial tenglamalar, T 1973 y
   
5. 
   Petroviskiy I.G. Lektsin po teorin obkvonnex differinsialnx uravneniy M.Nauka 1964 y
   
6. 
   Xartman F.Obknovenne differinsialne uravneniya, izd. ,,Mir”, M 1970 y
   
7. 
   Koddinchton E.A.Lebisson G. Teoriya obknovenne differinsialnx uravneniy, M. IL. 1958 y
   
8. 
   Elischolis L.E. Differinsialnx uravneniya I variatsionnoe ischesliniya, Nauka, Moskva, 1965 y
   
9. 
   R.S.Gaute, A.R. Yanpoliskiy ,,Differinsial tenglamalar “ T 1978 y
   
10. 
    Fediryuk M.V. Obknovenne differinsialne uravneniya, M.1980 y