Muhammad Al-Xorazmiy nomidagj Toshkent axborot texnalogiyalar universiteti

Muhammad Al-Xorazmiy nomidagj

Toshkent axborot texnalogiyalar universiteti

1-kurs 810-20 guruh talabasi Qazaqov

Odilbekning differentsial tenglamalar fanidan

Mustaqil ishi

Mavzu: Chiziqli differentsial tenglamalarning tebranishlar jarayoniga tadbiqi.

CKaH1-1POBaHO

m noma'lumli mta difTerensial tenglamalarning kanomk sistemasi umumiy ko'rinishda

kabi yoziladit bu yerda x —erkli o'zgaruvchi, y, noma'lum funksiyalar.

Noma' lum funksiyalarning hosilalariga nisbatan yechilgan y ) i = lar (5.2) birinchi tartibli differensial tenglannalar sistemasiga normal sistema deyiladi

Agar (5,1) sistemada hosilalarni yangi yordamchi

ekvivalent bo ^s lgan va n=kl +.„+k- ta tenglamalardan tashkil topgan (5-2) normal sistema bilan almashtirish mumkin b&ladi.

I —misol* Differensial tenglamalar yoki sistemalarni differensial tenglamalarning normal sistemasiga keltiring (x —erkli o'zgaruvchi):

2 )

COSX,

4)

@ l) y' =.v, deymiz Bundan bo'ladi.

U holda berilgan tenglamani

ko'rinishda yozish mumkin.

2) Qo'shimcha funksiyalar kiritamiz:

U holda berilgan tenglama y': kabi yoziladi. Natijada

2

normal sistema kelib chiqadi.

3. 
   Ikkinchi tenglamadan topamiz:
   

y; —3 sin x cosx + — 3Y2W

Demak, y; sms— y; 3sinx cos x + 2 y, — 3.v..

3. 
   Qo'shimcha —y, funksiyalar kiritanuz va berilgan sistemani
   

III Xt

ko' rinishga keltiramiz

Bundan

normal sistema hosil bo*ladi.

(5.2) normal sistemaning vechimi deb bu sistemaning har bir tenglamasini qanoatlantiradigan funksiyalar t($plamiga aytiladi.

(5.2) sistenulning (xo (xo)l YO boshlang'ich shartlarni qanoatlantiruvchi xususiy yechimini topish masalasiga Koshi masa/asi deyil ad i

YO 'qotish usnli

N ormal sistemani yechishning asosiy usullaridan biri sistemani bilta yuqori tartibli differensial tenglamaga keltirish va keyin yechish hisoblanadi Bu usulda normal sistemaning noma'lum funksiyalaridan birini differensiallash orqali uning bitta noma'lumidan boshqa barcha noma'lumlari ketma-ket yo*qotiladi. Bu usul noma'lun11arni yo^s qotish usuli deb ataladi

Normal sistemani ⁱqotish usu/i bilan yechish quyidagi tartibda amalga Oshiriladi:

1 ⁰. (5.2) sistemaning istalgan, masalan, birinchi tenglamasi x bo'yicha differensiallanadi

va o ^e ng tomondagi y,' hosilalar o'miga j,' ifodalarni qo'yib, topiladi:

2" Bujarayon davom ettiriladi va quyidagi sistema hosil qilinadi:

(5-3)

(5.3) sistemaning birinchi (n — l)ta tenglamasidan (n — ta filnksiyalar o'zgaruvchilar orqali ifodalanadi va

(5.4)

Sistema hosil qilinadi; larning bu ifodalari (5.3) sistemaning oxirgi tenglamasiga qo'yiladi va y, funksiyaning "—tartibli differensial tenglamasini hosil qilinadi:

= fli(

Bu tenglama yechiladi va y, yechim topiladi;

6'. y, yecllim (n — l) marta differensiallanadi, v' lar(5.4) sistema tenglamalariga qo•yiladi va (5.2) sistemaning qolgan yechimlari topiladi:

2 —tnisol. Normal sistemalarni yo'qotish ustili bilan yeching: y' v + y —eos.v,

l)2)

2y .v, + sin x + cosx

l ) Sistemaning birinchi tenglamasini differensiallaymiz:

Berilgan sistemaning tenglamalari yordamida oxirgi tenglikdan va y: larni yo'qotamiz:

y/ + 4Yl' + 4.va O.

Hosil 'bo'lgan o'zgarmas koeffitsiyentli chiziqli bir jinsli differensial tenglamani yechatniz:

Bundan y: -tc, -2C

y, va larni sistemaning birinchi tenglamasjga qo'yib, topamiz:

Demak, berilgan sistemaning umumiy yechimi:

:

2) Sistemaningbirinchi tenglamasini differensiallaymiz:

Bu tenglikka y;ning sistema ikkmchi tenglamasidagi ifodasini qo'yamiz:

v + 2sin .v+cosx.

Sjstemaning birinchi tenglamasidan _vrni topamiz va oxirgi tenglamaga qo'yamiz:

+ = 2 sin x.

Ilosil bo'lgan ikkinchi tartibli o ^s zgarmas koelT1tsiyentli birjinsli bo'lmagan tenglama birjinsli qismining yechimi: = C, cosx + C. sin x.

Uning xususiy yechimini ¯ —.v(Acosx+ Bsin.v) ko'rinishda izlaymiz

Bundan

B x)cos.v+ (B —Ar)sinx, + Bx)sinx. ni —2sinx tenglamaga qo%yib topamiz:

13=0, h- xcosx . Bundan

«v, = C, cosx+ C. sin x— xeosx,

= —C, sin x + C. cosx eosx + xsinx. Sistemaning birinchi tenglamasidan topamiz:

«V, + COS.X.

Bu ifodaga va y: larning ifodalarini qo'yamiz:

(C: —Cl )cosx — (Cl + C: )sinx x(eosx + sin x).

Shunday qilib, berilgan sistemaning umumiy yechimi.

V, = Cl COS.V+ C: sin X — XCOS.V,

= (C: —C, )cosx— (Ci + x + x(cosx + sin x).

3-misol. Koslıi masalasini yeclıing: