Namangan viloyati

III. Yangi mavzu bayoni:

Chiziqli tenglamalar sistemasini yechishning o’rniga qo’yish usuli

2- masala. Tenglamalar sistemasini yeching:

 (3)

 va  shunday sonlarki, (3) sistemaning ikkala tengligi ham to'g'ri bo'ladi, ya'ni  va  (3) sistemaning yechimi, deb faraz qilamiz. 2x + y =4 tenglamaning chap qismidan 2  ni uning o'ng qismiga olib o'tamiz; yana to'g'ri tenglik hosil qilamiz:

y = 4-2x. (4)

Endi (3) sistemaning birinchi tenglamasini qaraymiz:

x +2y=5. (5)

 va  shunday sonlarki, (5) tenglik to'g'ri bo'ladi degan farazimizni eslaylik. Bu tenglikdagi  sonni unga teng bo'lgan 4-2 son bilan almashtiramiz, ya'ni (5) dagi  ning o'rniga uning (4) dagi 4-2 qiymatini qo'yamiz. U holda  +2(4-2 )=5 tenglikni hosil qilamiz. Bu tenglikdan topamiz:  +8-4 =5, -3 =-3,  =1.  =1 ni (4) tenglikka qo'yib,  =4-2·1=2 ekanini hosil qilamiz. Olib borilgan mulohazalarga yakun yasaylik. (3) sistema yechimga ega deb faraz qilib, biz  = 1 va  = 2 ni hosil qildik va sistemaning boshqa yechimlari yo'qligini aniqladik. Bu sonlar juftligi (3) sistemaning yechimi ekanligiga ishonch hosil qilish qoldi, ya'ni  =1,  =2 bo'lganda sistemaning ikkala tenglamasi ham to'g'ri tenglikka aylanishini ko'rsatish qoldi.  va  ning topilgan qiymatlarini (3) sistemaning ikkala tenglamasiga qo'yamiz va hisoblashlarni bajaramiz:



Ikkala tenglik ham to'g'ri tenglik. Shunday qilib, (3) sistema birgina yechimga ega:  =1,  =2.

(3) sistemani yechishning ko'rib chiqilgan bu usuli o'rniga qo'yish usuli deyiladi. U quyidagilardan iborat:

1) sistemaning bir tenglamasidan (qaysinisidan bo'lsa ham farqi yo'q) bir noma'lumni ikkinchisi orqali, masalan,  ni  orqali ifodalash kerak;

2) hosil qilingan ifodani sistemaning ikkinchi tenglamasiga qo'yish kerak - bir noma'lumli tenglama hosil bo'ladi;

3) bu tenglamani yechib,  ning qiymatini topish kerak;

4)  ning topilgan qiymatini y uchun ifodaga qo'yib,  ning qiymatini topish kerak.

3-masala. Tenglamalar sistemasini yeching:



1) Birinchi tenglamadan -2 =16-3 ,  ya’ni  ekanini topamiz.

2)  ni sistemaning ikkinchi tenglamasiga qo'yamiz:



3) Bu tenglamani yechamiz:    

4)  ni  tenglikka qo'yib, quyidagini topamiz:



Endi umumiy holdagi  chiziqli tenglamalar sistemasini o’rniga qo’yish usulida yechish usulini ko’rsatamiz:

1)  ,  

2)    



3) 



Bu yerda  bo’lishi kerak. Bundan  shart bajarilishi kerak degan xulosaga kelamiz.

Bundan tashqari x va y ning hosil bo’lgan qiymatlaridan  ,  bo’lganda tenglamalar sistemasi yechimlari qanday bo’ladi degan muhim savol kelib chiqadi?

Quyida biz bu savollarga batafsil izoh berib o’tamiz.

1) Agar  shart bajarilsa, tenglamalar sistemasi yagona yechimga ega;

2) Agar  shart bajarilsa, tenglamalar sistemasi, yechimga ega emas;

3) Agar  shart bajarilsa, tenglamalar sistemasi cheksiz ko’p yechimga ega.

Javob:  

5-masala: Tenglamalar sistemasini yeching: 

Yechish:  =1,  =5,  =7,  =3,  = -2,  =4





Javob:  

6-masala: a va b ning qanday qiymatlarida  tenglamalar sistemasi cheksiz ko’p yechimga ega?

Yechish:  =3,  =-b,  =10,5,  =a,  = -6,  =7

 shartga ko’ra  , bundan esa   ekani kelib chiqadi.

Javob:   .

7-masala: m ning qanday qiymatlarida  tenglamalar sistemasi yechimga ega emas?

Yechish: Avval tenglamalar sistemasini  ko’rinishga keltirib olamiz.

 , endi esa 2) shartni tekshiramiz:  = ,  =2,  =-4,  =2,  = ,  =8.

 dan  , 

Javob: