О выборе численных методов интегрирования уравнений переходных процессов электроэнергетических систем

Аннотация
Электромеханик ўткинчи жараёнларни ифодаловчи алгебро-дифференциал тенгламалар системасини ечиш алгоритмлари кўриб чиқилган. Сонли итеграллаш усулларидан Рунге-Кутта аён усули, Эйлер, трапеция формуласи ҳамда тўғриловчи коэффициентли Эйлер ноаён усулларига асосланган алгоритмларнинг солиштирма таҳлили ўтказилган. Хулоса ўрнида трапеция формуласи қуллаш асосидаги алгоритм энг сифатли ва самарали бўлиши аниқланган.
При достаточно детальном описании динамики поведения электроэнергетических систем (ЭЭС) математическая модель обычно имеет переменные состояния, характеризующиеся разными частотами колебаний, – быстрые и медленные. Это определяется наличием в соответствующих дифференциальных уравнениях постоянных времени различной величины. Например, постоянная инерции ротора генератора обычно имеет значения (610) с, а постоянная времени уравнения АРВ СГ может быть порядка (0,010,02) с. Такие системы дифференциальных уравнений, содержащие «разно-темповые» переменные, называются жесткими.
При решении жестких задач с помощью классических явных методов численного интегрирования возникает необходимость сохранения малого шага на всем интервале решения [1]. Любое увеличение шага приводит к неустойчивости решения. Использование малых шагов интегрирования на длительном интервале времени сопряжено с большими вычислительными затратами и накоплением погрешностей округления и усечений.
Для жестких систем нелинейных дифференциальных уравнений проблема устойчивости методов численного интегрирования, а следовательно, его точности, особенно актуальна. В общем случае лучшие результаты в смысле точности численного интегрирования жестких систем нелинейных дифференциальных уравнений дают неявные методы достаточно высокого порядка. Однако часто приходится применять дополнительные приемы. Одним из них является использование разных шагов интегрирования для быстрых и медленных переменных – малый шаг для быстрых и большой для медленных. Естественное условие при этом, чтобы в
один шаг по медленным переменным «укладывалось» целое число шагов по
быстрым переменным. Еще одно направление в численном интегрировании связано с методами интегрирования с переменным шагом. Для определения целесообразной величины шага интегрирования разработаны приемы, оценивающие погрешность интегрирования на данном шаге и в зависимости от нее вычисляющие приемлемое значение величины шага интегрирования. Это усложняет метод численного интегрирования, однако позволяет контролировать погрешность решения задачи и переходить на большие величины шага интегрирования при снижении интенсивности колебаний переменных.
С целью выбора наиболее эффективных для расчетов переходных процессов ЭЭС методов в предлагаемой работе проведено сопоставление алгоритмов на основе явного метода Рунге-Кутта 4-го порядка и неявных методов - Эйлера, трапеций, Эйлера с подгоночными коэффициентами.
Для анализа рассмотрим схему ЭЭС приведенную на рис. 1.

Рис -1.
Исходные уравнения синхронного генератора, описываемые в координатных осях ротора, приняты в форме Лебедева-Жданова [5]. Уравнения Лебедева-Жданова можно получить упрощая уравнение Парка -Горева в следующем виде:
При неучете демпферных обмоток они имеют вид:



(1)



здесь D = D’ + K

где	D’	–	демпферный коэффициент;
	К	–	коэффициент, учитывающий реальную зависимость момента на валу от скольжения при малых отклонениях.

Для решения поставленной задачи необходимо исследовать свойства характеристического определителя, составленного из коэффициентов системы (1). При этом целесообразно исключить ряд переменных из исходных уравнений (1) и оставить лишь часть из них, определяющие характер движения – (Δδ, Δψ_f, Δψ_d, Δψ_q). В результате получается следующая система:




Здесь используются общепринятые обозначения
; ; ; ;
На основе исследований показана возможность использования упрощенных моделей СГ и получения расчлененных систем уравнений для задач анализа устойчивости режимов и численного моделирования переходных процессов ЭЭС, следовательно, дифференциальные уравнения Парка-Горева при наличии демпферных моментов на валу СГ или более того при наличии АРВ могут быть заменены с малыми количественными погрешностями и без качественных ошибок следующими алгебраическими уравнениями