O’zbekiston respublikasi oliy va o’rta maxsus ta’lim vazirligi muqumiy nomidagi qo’qon davlat pedagogika instituti fizika-matematika fakulteti

Chiziqli integral tenglamalar va ularning yechilish usullari.

Funksional fazoda ( masalan, ) tenglama berilgan bo’lib, noma’lum element funksiyadan iborat bo’lsa, bunday tenglama funksional tenglama deyiladi. Agar funksional tenglam noma’lum funksiya integral ostida bolsa, u holda tenglama integral tenglama deyiladi. Masalan, ushbu

Tenglama ga nisbatan integral tenglamadir, bu yerda K(s,t), g(s,t) – berilgan funksiyalar.

Integral tenglamadagi ifoda noma’lum funksiyaga nisbatan chiziqli bo’lgan holda tenglama chiziqli integral tenglama deyiladi.

Quyidagi tenglamalar chiziqli integral tenglamalarga misoldir:

(1)

(2)

bu yerda - noma’lum funksiya, K(s,t) va f(s) –ma’lum funksiyalar, (1) va (2) tenglamalar mos ravishda birinchi va ikkinchi tur Fredgolm tenglamalari deyiladi.

Xususan, K(s,t) funksiya t>s qiymatlar uchun ushbu

Shartni qanoatlantirsa, u holda (1) va (2) tenglamalar mos ravishda ushbu

(3)

(4)

ko’rinishlarga ega bo’ladi. Bunday tenglamalar birinchi va ikkinchi tur Volterra tenglamalari deyiladi. Volterra tenglamalari Fredgolm tenglamalarining xususiy holi bo’lsa-da, ular alohida o’rganiladi, chunki Volterra tenglamalari o’ziga xos bo’lgan xossalarga ega.

Agar (1), (2), (3), (4) tenglamalarda funksiya nolga teng bo’lsa, bu tenglamalar bir jinsli deyiladi.

Misol. Ushbu

tenglama Abel tenglamasi deyiladi.

Bu tenglama Volterra tenglamasining xususiy holi bo’lib, 1823-yilda N.Abel tomonidan ko’rilgan.

Birinchi tur Fredgolm tenglamalarini o’rganish ikkinchi tur tenglamalariga qaraganda ancha qiyinroq. Masalan, bunday tenglamalar har doim yechimga ega bo’lavermaydi.

Misol sifatida ushbu

tenglamani fazoda ko’rsak, bu tenglama birinchi tur Fredgolm tenglamasi bo’lib, unda

K(s,t)=(1, tK(s,t)=(0, t>s uchun

Agar funksiya hosilaga ega bo’lsa, u holda, ravshanki, funksiya tenglamaning yechimidir. Aks holda bu tenglama yechimga ega emas.

Ikkinchi tur Fredgolm tenglamalari kengroq o’rganilgan.

Biz quyida Fredgolm tenglamalarini tekshirishga hozircha bayon qilingan funksional analiz elementlarini, xususan Gilbert-Shmidt nazariyasini tatbiq qilamiz.

kompleks fazoda ikkinchi tur Fredgolm tenglamasi, ya’ni (2) tenglamani olamiz. Bu tenglamada ma’lum va noma’lumfunksiyalar bo’lib, ular fazoning elementlaridir.

Bu tenglamaga fazoda aniqlangan

(5)

Fredgolm operatorini mos qo’yamiz.

Agar funksiya to’plamda kvadrati bilan jamlanuvchi, ya’ni

(6)

bo’lsa, u Gilbert-Shmidt o’zagi, unga mos T operator esa Gilbert-Shmidt operatori deyiladi.

1-Teorema.Gilbert-Shmidt operatori fazoda to’la uzluksiz bo’lib, uning normasi quyidagi tengsizlikni qanoatlantiradi:

(7)

Isbot. T operator fazoda chegaralangan va uning normasi (7) shartni qanoatlantirishi ko’rsatilishi kerak. Endi faqat un to’la uzluksiz ekanligini isbotlasak kifoya.

Biror sistema fazoda to’la ortoganal bo’lsin. U holda ko’paytmalar sistemasi fazoda ortoganal sistema tashkil qiladi.

Demak, ushbu

yoyilma o’rinlidir. Quyidagi funksiyalar ketma-ketligini qaraylik:

.

Bu o’zakka mos Fredgolm operatorini bilan belgilaymiz. Ravshanki, operator to’la uzluksiz, chunki u fazoni chekli o’lchamli qism fazoga aks ettiradi.

Haqiqatdan, ixtiyoriy uchun

bu yerda .

Demak, operator fazoni funksiyalarning chiziqli qobig’i bo’lgan chekli o’lchamli fazoga aks ettiradi.

Ta’rifga asosan, funksiyalar funksiyaning sistema Furye qatorining xususiy yig’indilaridan iborat. Shu tufayli da

Endi (7) tengsizlikni operatorga qo’llasak,

munosabatga kelamiz. Shunday qilib, to’la uzluksiz operatorlar ketma ketligini norma bo’yicha T operatorga yaqinlashadi.

Natija. Ixtiyoriy Gilbert-Shmidt operatori chekli o’lchamli operatorlarning norma bo’yicha limitidir.

Gilbert fazosida qo’shma operatorlarni o’rganganimizda K(t,s) o’zakli Fredgolm operatori uchun qo’shma operatorlarning o’zagi bo’lishini ko’rganmiz.

Hususan, (5) formula bilan aniqlangan T operator o’z-o’ziga qo’shma bo’lishi uchun

(8)

tenglik zarur va kifoyadir. (8) shartni qanoatlantiruvchi o’zaklar simmetrik o’zaklar deyiladi.

Endi (8) shartni qanoatlantiruvchi o’zakli tenglamani o’rganamiz. Yuqorida aytilganidek, bu holda

operator o’z- o’ziga qo’shma to’la uzluksiz operator. Demak, bu operatorga Gilbert – Shmidtning 2-teoremasini qo’llash mumkin. (2) tenglamani qisqacha ushbu ko’rinishda

(9)

yozamiz. Gilbert – Shmidt teoremasiga asosan xos qiymatlarga mos keluvchi xos vektorlardan iborat bo’lgan shunday ortonormal Sistema mavjudki, ixtiyoriy elementni

ko’rinishda ifodalash mumkin, bu yerda ya’ni . Xususan,

(10)

(9) tenglamaning yechimini ushbu

(11)

ko’rinishda izlaymiz. (9) tenglamada funksiyalaning (10), (11) yoyilmalarini yozib, ushbu

tenglamaga kelamiz, ya’ni

Bunday yoyilma Gilbert- Shmidt teoremasiga asosan yagona bo’lganligi sababli

bundan bo’lsa, bo’lsa,

Ko’rinib turibdiki, holda shart (9) tenglamaning yechimga ega bo’lishi uchun zarur va kifoyadir.

Bundan uchun ixtiyoriy.

Shuning bilan quyidagi teorema isbotlandi.

2-Teorema. Agar 1 soni T operator uchun xos qiymat bo’lmasa, u holda (9) tenglama ixtiyoriy f uchun yagona yechimga ega. Agar 1 soni T operator uchun xos qiymat bo’lsa, u holda (9) tenglama yechimga ega bo’lishi uchun f funksiya 1 soniga mos keluvchi hamma xos funksiyalarga ortoganal bo’lishi zarur va kifoyadir. Bu hoda (9) tenglama yechimlarining soni cheksizdir.

Chiziqli integral tenglamalarga doir masalalarni yechilish usullarini ko’ramiz.

1-misol. Hilbert fazosida

(1)

integral tenglama berilgan. Parametr ning qanday qiymatlarida uchun bir soni xos qiymat bo’ladi?

Yechish: Qaralayotgan integral tenglamaning yadrosi

haqiqiy qiymatli va simmetrik shartni qanoatlantiradi, ya’ni

Endi xos qiymat uchun tenglama ni qaraymiz, ya’ni

(2)

Agar biz (2) da

va (3)

belgilashlarni kiritsak, u holda uchun ifodani olamiz:

(4)

(3) ni (4) ga qo’yib,

(5)

tengliklardan foydalansak larga nisbatan quyidagi tenglamalar sistemasini olamiz:

Bu tenglamalar sistemasi nolmas yechimga ega bo’lishi uchun uning determinanti

(6)

bo’lishi zarur va yetarli. (6) dan yoki larni olamiz. Demak, parametrni qiymatlarida uchun 1 soni xos qiymat bo’ladi. Endi tenglamani yechamiz. Yuqorida bayon qilinganlardan bu tenglamaning yechimlari mos ravishda ekanliklari kelib chiqadi.

Agar bo’lsa, u holda operator uchun bir xos qiymat emas, teoremaga ko’ra (1) integral tenglam yagona yechimga ega. (3) belgilashdan foydalansak , larga nisbatan quyidagi tenglamalar sistemasini olamiz:

Bu sistema da yagona yechimga ega va

larning bu qiymatlarini (7) ga qo’yib (1) tenglamaning yechimini olamiz:

(8)

2-misolda qaralganda tenglamani bo’lgan holda, ya’ni

(9)

tenglamani yechamiz.

Agar bo’lsa u holda, operator uchun bir xos qiymat bo’ladi. Teoremaga ko’ra (9) tenglama yechimga ega bo’lishi uchun f funksiya tenglamaning barcha yechimlariga, ya’ni ga ortoganal bo’lishi zarur va yetarli. Demak, (9) tenglama yechimga ega bo’lishi uchun

(10)

shart bajarilishi zarur va yetarli. Agar biz (3) belgilashdan foydalansak (9) tenglamani quyidagicha yozishimiz mumkin:

(11)

(11) ni (3) ga qo’yib (5) va (10) tengliklardan foydalansak larga nisbatan quyidagi tenglamalar sistemasini olamiz:

Bu yerdan ko’rinib turibdiki, sifatida ixtiyoriy sonni olish mumkin. Bu qiymatlarni (11) ga qo’yib (9) tenglamaning umumiy yechimini hosil qilamiz:

bu yerda C ixtiyoriy o’zgarmas son.