O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi urganch davlat universiteti Fizika-matematika fakulteti

2. Ekvipotensial sirtlar va chiziqlar

Agar skalyar kattalikning maydoni berilgan bo‘lsa, fazoning shunday nuqtalarini olamizki, ularda fizik hodisa bir xil bo‘lsin, ya’ni bu nuqtalarda funksiya bir xil qiymatga ega bo‘lsin:

(15)

bu yerdagi funksiya odatdagidek bir qiymatli, uzluksiz va kamida birinchi tartibli xususiy hosilalarga ega, deb faraz qilamiz.

(15) tenglama fazodagi biror sirtni ifodalaydi. parametr deb, unga qiymatlar bersak, bu qiymatlarga mos kelgan sirtlar hosil bo‘ladi:

bu sirtlarning har birida maydonni aniqlovchi fizik kattalikning qiymatlari o‘zgarmas bo‘ladi. Skalyar maydonni aniqlovchi funksiya uning fizik ma’nosidan qat’iy nazar, patensial deb yuritiladi. Shuning uchun bu deb yuritiladi.

Fazoning qaysi sohasida skalyar maydon aniqlangan bo‘lsa, shu sohaning xar bir nuqtasidan faqat bitta ekvipotensial sirt o‘tadi. Uning tenglamasi

(16)

chunki dagi o‘rniga ni qo‘ysak parametrning qiymati quyidagicha bo‘ladi:

Masalan, maydon uchun ekvipotensial sirtlar konsentrik sferalardan, maydon uchun vektorga perpendikulyar parallel tekisliklardan iborat. Yuqorida qaralgan

maydon uchun ekvipotensial sirtlar uchlari koordinatalar boshida bo‘lgan quyidagi barcha doiraviy konuslar oilasidan iborat:

Agar so‘z yassi skalyar maydon, haqida borayotgan bo‘lsa, ekvipotensial sirtlar deb ataladi:

(17)

Analitik geometriya nuqta’iy nazaridan qaralganda (17) chiziq

(18)

sirtning tekislik bilan kesishgan chizig‘idir. Demak, skalyar maydon ning ekvipotensial chiziqlari (18) sirtni tekislikka parallel tekisliklar bilan kesishishidan hosil bo‘ladi. Bu chiziqlarni tekislikka prayeksiyalab, har bir chiziq yoniga kesuvchi tekislikning asosiy tekislikdan qancha masofadaligini aniqlovchi sonni yozib borsak, sirtning gorizantallar orqali ifodalangan kartasi vujudga keladi. Asosiy tekislikda hosil qilingan chiziqlar chizmachilikda son atmetkali prayeksiyalar deyiladi.

Ekvipotensial chiziqlar ko‘rsatilgan yassi chizma, yani bu chiziqlarning shakli va o‘zaro joylashishi sirtning “relefiqiyofa”si haqida tasavvur beradi.

Masalan, ekvipotensial chiziqlarning zichlanish joylari egri sirtning tikkaroq qismiga mos kelib, ularning siyraklanish joylari esa sirtning chap qismiga to‘g‘ri keladi. Buni yuqoridagi chizmada ham ko‘rish mumkin. Metrologiyada ham shu prinsipdan foydalaniladi, ammo unda barcha yasashlar bitta tekislikda joylashadi. Masalan, yassi geografik kartada biror oyning o‘rtacha tempereturasi belgilanib chiqiladi va ularni chiziq bilan tutashtirib “izotermalar” hosil qilinadi.

Biz yuqorida funksiya bir qiymatli va uzluksiz deb faraz qilgan edik, ya’ni bo‘lganda

bo‘lishi kerak. Bundan tashqari, maydondagi biror nuqta bo‘lib, maydonda shunday nuqtalar topiladiki, ular

ekvipotensial chiziq tashkil etadi.

o‘zgarmasning ikkita turli qiymatlariga mos keladigan ikkita ekvipotensial chiziq o‘zaro kesishmaydi.

Ekvipotensial chiziqlar turli-tuman shaklda bo‘la oladi hatto, tekshirilgan ajralgan nuqta va boshqa tur maxsus nuqtalarga ega bo‘lishi ham mumkin. Masalan, ekvipotensial chiziqlar ikkita alohida tarmoqdan iborat bo‘lishi mumkin.

Nixoyat ekvipotensial chiziq o‘z-o‘zini kesib o‘tishi, ya’ni yotqizilgan sakkiz shaklini olishi mumkin.

Masalan, funksiya fazoda giperbolik paraboloidni, ya’ni egarsimon sirtni ifodalaydi. chiziq esa teng tomonli geperbololardir. Ammo qiymatga ikkita to‘g‘ri chiziq mos keladi: va lar esa o‘zaro kesishadi. Ya’ni ekvipotensial chiziqning tugun nuqtasi bor. Bu chiziq giperbolik paraboloid funksiya ni tekislik bilan kesganda hosil bo‘ladi.