O'zbekiston respublikasi oliy va o’rta maxsus ta’lim vazirligi

VIRIAL TO’G’RISIDA TEOREMA
Reja:

1. 
   Virial haqida tushuncha.
   

2. Ortacha kinerik energiya va o’rtacha potensial energiya
3. Virial haqida teorema.

Kalit so’z va iboralar: kinetik energiya, potensial energiya, to’la energiya, o’rtacha qiymat, Eyler teoremasi, virial teorema, Keplerning uchinchi qonuni.

Finit harakat qilayotgan moddiy nuqtalardan iborat sistemani olib qaraylik. Bunday sistemadagi hech bir jism vaqt o’tishi bilan chesizlikka ketib qolmaydi.

Agar sistemaning potensial energiyasi o’z o’zgaruvchilarining k- tartibli bir jinsli funksiya bo’lsa, ya’ni

(1)

kinetik, potensial va to’liq energiyalarning vaqt bo’yicha o’rtacha qiymatlari orasida sodda munosabat o’rnatish mumkin. Buning uchun dekart koordinat sistemasida zarracha uchun harakat tenglamasini yozib olaylik:

(2)

Uning ikkala tomonini r_a skalyar ko’paytirib, hamma zarralar bo’yicha yig’indiga o’tiladi:

(3)

Chap va o’ng tomonlar ustida quyidagi almashtirishlami bajaraylik. Birinchidan,

(4)

Ikkinchidan, potensial energiya к tartibli bir jinsli funksiya bo’lgani uchun Eyler teoremasi bo’yicha

(5)

Demak,

(6)

Vaqt bo’yicha o’rtacha qiymat ixtiyoriy funksiya f uchun quyi­dagicha ta’riflanadi:

(7)

Shu ta’rif asosida (2.57) ning ikkala tomonini o’rtalashtiramiz. Sistema faqat finit harakat qilayotgani uchun chap tomondagi birinchi hadning o’rtacha qiymati nolga teng bo’ladi. Natijada quyidagi ifodaga kelinadi:

(8)

Kinetik energiya uchun:

(9)

e kanligini hisobga olib topilgan formulani

(10)

ko’rinishda yozib olish mumkin. To’liq energiyani ham bunday munosabatlarga kiritilsa, vaqt bo’yicha o’rtacha qiymatlar uchun

(11)

m unosabatlarga kelinadi. Topilgan munosabatlar virial teoremani tashkil qiladi. Ularning hususiy hollari qiziqarlidir. Masalan, kichik tebranishlarga o’tilsa к = 2 bo’ladi, demak,
G ravitatsion va kulon elektr maydonlarida potensial U~1/r ko’ri­nishga ega, ya’ni k=—1. Bu hollarda


v a

bo’ladi.

Kinetik energiyamng hamma vaqt musbatligidan kelib chiqadiki, gravitatsion va kulon maydonlarida finit harakat qilayotgan zarrachaning to’liq energiyasi manfiy bo’lar ekan.
H arakat tenglamasi (2) ga qaytib kelaylik. (1) ga kirgan koordinatlarni «cho’zish»

bilan bir vaqtda vaqt ustida ham

(12)

almashtirish bajarilsa, harakat tenglamaning chap tomoni ga ko’payadi. o’ng tomoni esa (1) bo’yicha a ^k-1 ga ko payadi. Ko’rinib turibdiki,

(13)

shart bajarilsa harakat tenglamasi o’zgarmaydi. Demak, U tashqi maydonda zarracha uchun r (t) funksiya qandaydir trayektoriyani ifodalasa funksiya ham huddi shu tashqi maydondagi mumkin bo’lgan harakat trayektoriyasini berar ekan. Topilgan munosabatni aniqroq tushunish uchun bundan keyin deb qaraladi, bu yerda l va — trayektoriyalarning chiziqli o’lchamlari.
Agar ikkala trayektoriya bo’yicha harakat tezliklari solishtirsak:

(14)

Shtrixlanmagan trayektoriyada a nuqtadan b nuqtagacha harakat uchun t vaqt ketgan bo’lsa, shtixlangan trayektoriya bo’yicha ularga mos keluvchi a’ nuqtadan b’ nuqtagacha vaqt ketadi. tezlik esa yuqorida topildi. Masalan, tortish kuchi mavdoni uchun k= -1 demak, Keplerning uchinchi qonuni topildi - sayyoralar uchun Quyosh atrofida aylanish davrlari nisbatining kvadrati ular orbitalari radiuslari nisbatining kubiga teng.
1-misol. Yer va Mars uchun orbita radiuslari l= 1.49610¹³ sm va I’ = 2.279410¹³ sm , ya’ni, = 1.5237. Agar Yerdagi bir yil 365 kun davom etsa. Marsdagi bir yil = 365 1,5237^,3/2 = 365 1,88 = 686 kun chiqadi.
Energiya uchun ekanligini topish qiyin emas.