Shartli matematik kutilma va uning xossalari

Teorema 3. (Takroriy integrallash haqidagi Fubini teoremasi). Borel funksiyasi g x y( , ), ξ₁ va ξ₂ bog‘liqsiz tasodifiy miqdorlar uchun
Eg
R
⎡ ⎤
= ∫ ∫⎢ g x x( 1 2, )Pξ2 (dx2)⎥Pξ1(dx1) (8)
R ⎣R ⎦
Bu tenglikda integral va indekslarning o‘rinlarini almashtirish mumkin. Izoh. Funksiya g x x( _{1 2}, ) o‘lchovli bo‘lishidan, (8) tenglikdagi integral ostidagi
∫ g x x( _{1 2}, )P_ξ2 (dx2)
R
funksiyaning o‘lchovli bo‘lishi kelib chiqadi.
Natija 1. Funksiya g x x( _{1 2}, ) = g₁(x₁)⋅ g₂(x₂) bo‘lsin. Bu holda, quyidagi ikkita shartlardan:

1. 
   ∫ g1 1(x )g2 2(x )P_{ξξ1 2} (dx dx1^, ₂) mavjud;
   

₂ R

2. 
   ∫ g_i (x P_i ) _ξi (dx_i ), i =1,2, mavjud;
   

R
birortasi bajarilsa,
∫2 g1 1( )x g2 2(x )Pξξ1 2 (dx dx1, 2) =
R
= ∫ g1 1(x P) _ξ1(dx1)⋅ ∫ g2 2(x )P_ξ2 (dx2). (9)
R R
Oxirgi (9) tenglikni soddaroq
E g( _{1 1}( )ξ g2 2(ξ )) = Eg1 1(ξ)⋅Eg2 2(ξ )
ko‘rinishda yozish mumkin.
Hamma taqsimotlar fazosi (*) kompozitsiya amaliga nisbatan ma’lum ko‘rinishdagi algebraik strukturani tashkil qiladi, lekin bu holat taqsimotlarning xususiyatlarini o‘rganishga yordam bermaydi.
Taqsimotlar kompozitsiyasi (12) formuladagi taqsimotlardan birortasi zichlik funksiyaga ega bo‘lsa, ularning kompozitsiyasi F₁*F₂ zichlik funksiyasiga ega bo‘ladi. Haqiqatan ham, masalan,
x
F₂( )x = ∫ p₂( )u du
−∞ ko‘rinishda bo‘lsa,
∞ x
F_{ξ ξ1 2}+ ( )x = F1*F2 = ∫ dF u1( ) ∫ p2(y −u dy) =
−∞
^x ⎛⎞
= ∫ ⎜ ∫ dF1( )u p2(y −u)_⎟^dy
−∞⎝−∞ ⎠
Demak, ξ₁+ξ₂ yig‘indining taqsimoti
∞
p( )x = ∫ p₂(x −u dF) ₁( )u −∞
zichlik funksiyasiga ega bo‘lar ekan. Agar ξ₁ tasodifiy miqdorning taqsimoti ham uzluksiz tipda bo‘lib p₁(x) zichlik funksiyasiga ega bo‘lsa,
∞ p_{ξ ξ1 2}+ ( )x = ∫ p2(x −u p u du) ₁( ) = p2 * p1 −∞
yig‘indi ξ₁+ξ₂ taqsimotining zichlik funksiyasi bo‘ladi.
Misol 4. Bog‘liqsiz ξ_{1 2},ξ tasodifiy miqdorlar [0,1] oraliqda tekis taqsimlangan bo‘lsin, ya’ni ular umumiy
p x( ) = ⎧_⎪⎨1, x∈[0,1^]

_⎪⎩0, x∈[0,1]
zichlik funksiyasiga ega bo‘ladilar. Bu holda,

⎧0, x∈[0,2]
⎪
p_{ξ ξ1 2}+ ( )x p x u du ⎨x, x∈[0,1]
^⎪2− x x, ∈[1,2]
⎩
Zichlik funksiyasi p_{ξ ξ1}+ ₂ (x) oxirgi formula bilan aniqlanadigan taqsimot,
“uchburchak” taqsimot deb ataladi.


Teorema 1. Tasodifiy miqdorlar ξ η, bog‘liqsiz, g x y( , ) Borel funksiyasi bo‘lsin. Agar Eg(ξ η, ) chekli bo‘lsa,
Eg(ξ η, )= E ⎡⎢_⎣Eg(x,η)/_x=ξ ⎥_⎦⎤ . (1)

^Agar g x y( , ) = g1( )x g2(y) ^bo‘lib, Eg1(ξ) ^va Eg2(η) mavjud bo‘lsa,

Eg(ξ η, )= Eg₁(ξ)⋅Eg₂(η) (2)
Izoh. Teoremadagi (1) tenglikning o‘ng tomonidagi ifodani hech qanday shartli matematik kutilma emasligini nazarda tutish kerak. Aslida esa
Eg(x,η)=G( )x
bo‘lib, (1) tenglikning o‘ng tomoni EG( )ξ ga teng deb tushinish to‘g‘ri bo‘ladi.
Isbot. Keltirilgan izohdan kelib chiqadiki, teoremaning birinchi qismi yuqoridagi Fubini teoremasining matematik kutilmalar terminidagi yozuvi, xolos. Teorema 1 ning ikkinchi qismi esa, oldingi paragrafdagi natija 1 dan iborat ((9) tenglikka qaralsin).
Agar B = ={η y} hodisaning ehtimolligi P B( )> 0 bo‘lsa, (1) tenglikning isboti matematik kutilmalar uchun to‘la ehtimollik formulasidan kelib chiqadi. Haqiqatan ham,
E g⎡⎣ (ξ η, )/ η = y⎤⎦ = E g⎢⎣⎡ P(ξ η(,η)=; ηy)= y⎦⎤⎥ =
= Eg(ξ η, )I{η=y} = Eg(ξ,y)I{η=y} =_Eg(ξ_,y).
P(η = y) P(η = y)
Oxirgi tenglikni to‘g‘riligida g(ξ,y) va I{η=y} tasodifiy miqdorlarning bog‘liqsiz bo‘lishligidan foydalanildi
Eg(ξ,y)I_{{ =η y}} = Eg(ξ,y)⋅P(η = y).
Teoremadagi (2) tenglikni umumiylikni chegaralamagan holda,
Eξ η⋅ = Eξ ⋅Eη (3)
ko‘rinishda yozish mumkin. Oxirgidan (2) ni olish uchun ξ sifatida g1( )ξ ni, η sifatida g2(η) ni qabul qilish yetarli, chunki ξ va η lar qatorida g1( )ξ va g2(η) lar ham bog‘liqsiz bo‘ladi.
Yuqoridagi (2) va (3) tengliklardagi fikrlarga teskari bo‘lgan fikrlar, umuman aytganda, to‘g‘ri emas. Shunday ξ va η tasodifiy miqdorlarni topish mumkinki, ular uchun
Eξ η⋅ = Eξ ⋅Eη
tenglik to‘g‘ri, lekin ξ va η lar o‘zaro bog‘liqsiz bo‘lmaydi.
Misol. ξ1 va ξ2 bog‘liqsiz tasodifiy miqdorlar bo‘lib, Eξ1 = Eξ2 = 0 bo‘lsin. Agar η1 = ξξ1 2 deb olsak, albatta, ξ1 va η1 lar bog‘liq tasodifiy miqdorlar bo‘ladi. Lekin
Eξη1 1 = Eξ1²ξ2 = Eξ1² ⋅Εξ2 = ⁰ = Eξ1⋅Eη1.
Ehtimollik fazosi (Ω, ,F P) da {ξn, n ≥1} tasodifiy miqdorlar ketmaketligi va butun manfiy bo‘lmagan tasodifiy miqdor v aniqlangan bo‘lsin. Tasodifiy miqdorlar
ξ_k,...,ξ_n, k ≤ n
yuzaga keltirgan σ− algebrani σ ξ( k,...,ξn)= Fk,n deb belgilaylik.
Ta’rif. Tasodifiy miqdor v kelajakka bog‘liq emas deyiladi, agar {v ≤ n} hodisa Fn+1,∞ −σ −algebraga bog‘liq bo‘lmasa.
Tasodifiy miqdor v Markov yoki to‘xtash momenti deyiladi, agar {v ≤ n} ∈F1,n bo‘lsa. Boshqacha aytganda, bu holda ξ1,...,ξn larning qiymatlari {v ≤ n} hodisalar ro‘y berganligi yoki bermaganligini aniqlaydi. Keltirilgan Markov yoki to‘xtash momenti v uchun {v ≤ n} yoki {v > n} hodisalar F algebradan bog‘liqsiz bo‘ladi. Demak,
Markov momenti {ξ_n,n ≥1} bog‘liqsiz tasodifiy miqdorlar ketma-ketligi uchun kelajakga bog‘liq bo‘lmagan tasodifiy miqdor bo‘ladi.
Misol 1. {ξ_n,n ≥1} tasodifiy miqdorlar ketma-ketligi, v qiymati N ga teng yoki undan katta bo‘lgan birinchi tasodifiy miqdorning nomeri bo‘lsin, ya’ni
v = inf {k : ξ_k ≥ N}
Agar {ξ_n,n ≥1} bog‘liqsiz tasodifiy miqdorlar ketma-ketligi bo‘lsa, v kelajakka bog‘liq bo‘lmagan tasodifiy miqdor bo‘ladi. n
Haqiqatan ham, {v ≤ n} =^∪=1{ξ_k ≥ N} ∈F_1,n hodisa uchun o‘z_k
o‘zidan ravshanki, v ^{tasodifiy miqdor} ξ ξ1 2, ,... ketma-ketlikka bog‘liq bo‘lmasa (ya’ni σ(v) va F₁,∞ σ −algebralar bog‘liqsiz), bu tasodifiy miqdor kelajakka bog‘liq bo‘lmaydi.
“To‘xtash momenti” tushunchasi ko‘p amaliy masalalarning mohiyati bilan bog‘liq bo‘ladi. Masalan, tayyor mahsulotning statistik nazorati quyidagi sxema bo‘yicha o‘tkaziladi: ξ_k tasodifiy miqdor k − partiyadagi “nosoz” (brak) buyumlar soni bo‘lsin. Statistik nazorat bo‘yicha hamma mahsulot “nosoz” deb hisoblanadi, agar biror n uchun n
yig‘indi S_n ⁼ k^∑=1 ξ_k ning qiymati a +bn dan katta bo‘lsa. Agar v aytilgan hodisaning ro‘y bergan partiya nomeri bo‘lsa, ya’ni
v = min{n S; _n ≥a +bn}
bu tasodifiy miqdor nazorat jarayonining “to‘xtash momenti” bo‘ladi. Agar v butun qiymatli, ξ ξ1, 2,... tasodifiy miqdorlar ketma-ketligi bo‘lsa,
S_v = ξ1 + ... +ξ_v
tasodifiy sondagi tasodifiy miqdorlar yig‘indisi bo‘ladi. Uni “qisqa qilib” tasodifiy yig‘indi deb ataymiz.