Сходимость спектрально-сеточного метода с полиномами чебышева

---

СХОДИМОСТЬ СПЕКТРАЛЬНО-СЕТОЧНОГО МЕТОДА С ПОЛИНОМАМИ ЧЕБЫШЕВА
ВТОРОГО РОДА
1
УДК 517.956.6
СХОДИМОСТЬ СПЕКТРАЛЬНО-СЕТОЧНОГО МЕТОДА С
ПОЛИНОМАМИ ЧЕБЫШЕВА ВТОРОГО РОДА
Нармурадов Ч.Б., Турсунова Б.А.
[e-mail], [e-mail]
Термезский государственный университет, г. Термиз, ул. Баркамол авлод, 43
Численные методы все более широко применяются для исследования математи-
ческих моделей гидродинамических систем. Одним из эффективным методом реше-
ния таких систем являются спектрально-сеточный метод, где в качестве базисных
функций исползованы полиномы Чебышева первого рода. Полиномы Чебышева об-
ладают следующими важными свойствами: 1) При четном (нечетном)
𝑛
полином
𝑇
𝑛
(
𝑥
)
содержит только четные (нечетные) степени
𝑛
,т.е. является четной (нечетной)
функцией; 2) Старший коэффициент полинома
𝑇
𝑛
(
𝑥
)
при
𝑛
>
1
равен; 3) Полином
𝑇
𝑛
(
𝑥
)
имеет
𝑛
действительных корней в интервале; 4) Максимальное значение по-
линома
𝑇
𝑛
(
𝑥
)
на отрезке
[
−
1; 1]
равен 1; 5) Полином
𝑇
𝑛
(
𝑥
)
среди всех многочленов
𝑛
-й степени со старшим коэффициентом, равным единице имеет на отрезке
[
−
1; 1]
наименьшее значение максимума модуля. Этими замечательными свойствами по-
линомов Чебышева можно воспользоватся при построение эффективных вычисли-
тельных методов. Наряду с полиномами Чебышева первого рода имеются полиномы
Чебышева второго рода обладающих почти с темы же свойствами. Поэтому иссле-
дование сходимости спектрально-сеточного метода с полиномами Чебышева второго
рода представляет несомненный интерес.
В данной статьи спектрально-сеточный метод с базисными функциями поли-
номов Чебышева второго рода применяется для исследования краевой задачи ли-
нейного обыкновенного дифференциального уравнения общего вида при линейных
однородных краевых условиях, так как исследования многих гидродинамических по-
токов подподают под этот класс уравнений. Сначала спектрально-сеточный метод
строится конструктивном виде, затем вводится функциональные пространства и в
нем соответствующие операторы проектирования. После этого доказываются теоре-
мы о сходимости спектрально-сеточного метода и устанавливается оценки скорости
сходимости метода.
Ключевые слова:
гидродинамические системы, спектрально-сеточный метод, по-
линомы Чебышева первого рода и второго рода, базисные функции, линейные од-
нородные краевые условия, гидродинамические потокы, отрезок ряда Фурье, сходи-
мость, оценка скорости сходимости
Цитирование:
Нармурадов Ч.Б., Турсунова Б.А.
СХОДИМОСТЬ СПЕКТРАЛЬНО-
СЕТОЧНОГО МЕТОДА С ПОЛИНОМАМИ ЧЕБЫШЕВА ВТОРОГО РОДА //
Проблемы вычислительной и прикладной математики, 2019. — № 3(15). — С. 1–8.
1 Введение
В вычислительной технологии широко применяются полиномы Чебышева [1-10].
Теоретические основы и приближенное решение операторных уравнений общего вида
изложены в [11-13]. Применение спектрально-сеточного метода с полиномами Чебы-
шева первого рода для решения обыкновенного дифференциального уравнения
𝑚
-го
порядка при линейных однородных краевых условиях изложены в работах [14-17].
В этих работах получены сходимость спектрально-сеточного метода и оценка скоро-
сти сходимости. Представляет интерес применение спектрально-сеточного метода с

---

2
Нармурадов Ч.Б., Турсунова Б.А.
полиномами Чебышева второго рода. Для решения вышеуказанной задачи так как
для полиномов Чебышева второго рода имеются другая весовая функция и соот-
ветственно, будут другие условия ортогональности. При таких условиях требуется
установление скорости сходимости и оценки скорости сходимости метода, авторам
неизвестно какие-либо работ по решению указанной задачи.
2 Постановка задачи
Рассмотрим линейное обыкновенное дифференциальное уравнение [14-17]
𝐿
0
𝑢
=
𝑑
𝑚
𝑢
𝑑𝑦
𝑚
+
𝑚
−
1
∑︁
𝑚
=
𝑗
𝑞
𝑖
(
𝑦
)
𝑑
𝑖
𝑢
𝑑𝑦
𝑖
=
𝑓
(
𝑦
)
,
−
1
< 𝑦 <
1
,
(1
.
1)
при линейных однородных краевых условиях
𝑚
−
1
∑︁
𝑘
=0
(︂
𝛼
𝑖𝑘
𝑑
𝑘
𝑢
(
−
1)
𝑑𝑦
𝑘
+
𝛽
𝑖𝑘
𝑑
𝑘
𝑢
(+1)
𝑑𝑦
𝑘
)︂
= 0
, 𝑖
= 1
,
2
, ..., 𝑚
(1
.
2)
Предположим, что задача (1.1)-(1.2) при
𝑓
(
𝑦
) = 0
имеет только тривиальное решение.
Это обеспечивает существование функции Грина для рассматриваемой задачи.
3 Спектрально-сеточный метод
В спектрально-сеточном методе (ССМ) рассматриваемый интервал интегрирова-
ния
[
−
1
,
1]
разбивается на сетки:
−
1 =
𝑦
0
< 𝑦
1
< ... < 𝑦
𝑛
= 1
,
где
𝑁
– заданное целое
число. Сетка может быть как равномерной, так и неравномерной. Приближенное ре-
шение задачи (1.1)-(1.2) на каждом из элементов сетке
[
𝑦
𝑗
−
1
, 𝑦
𝑗
]
, 𝑗
= 1
,
2
, ..., 𝑁
, будем
искать в виде линейной комбинации различного числа полиномов Чебышева второго
рода
𝑈
𝑛
:
𝑢
(
𝑝
𝑗
)
𝑗
(
𝑦
) =
𝑝
𝑗
∑︁
𝑛
=0
𝑎
(
𝑝
𝑗
)
𝑛
𝑈
𝑛
(˜
𝑦
)
, 𝑦
∈
[
𝑦
𝑗
−
1
, 𝑦
𝑗
]
, 𝑦
=
𝑚
𝑗
2
+
𝑙
𝑗
2
˜
𝑦,
(1
.
3)
где
𝑚
𝑗
=
𝑦
𝑗
+
𝑦
𝑗
−
1
, 𝑙
𝑗
=
𝑦
𝑗
−
𝑦
𝑗
−
1
,
−
1
6
˜
𝑦
6
1
, причем
𝑙
𝑗
– длина
𝑗
–го элемента сетки.
Вообще говоря,
˜
𝑦
зависит от
𝑗
, однако здесь и в дальнейшим индекс
𝑗
для простаты
изложения опускается. Через
𝑝
𝑗
обозначено количество полиномов Чебышева второ-
го рода, используемых для аппроксимации решения дифференциальной задачи (1.1)-
(1.2) на
𝑗
–м интервале сетки
[
𝑦
𝑗
−
1
, 𝑦
𝑗
]
, где
𝑝
𝑗
→ ∞
для каждого фиксированного
𝑗
.
Отметим, что
𝑝
𝑗
не должно быть меньше, чем порядок старшей производной диффе-
ренциалного уравнения
𝑚
,т.е.
𝑝
𝑗
>
𝑚
. Через
ℎ
= max
1
6
𝑗
6
𝑁
𝑙
𝑗
= max
1
6
𝑗
6
𝑁
(
𝑦
𝑗
−
𝑦
𝑗
−
1
)
обозначим
максимальный шаг сетки. Минимальное количество полиномов Чебышева, аппрок-
симирующих решение на интервалах сетки, обозначим через
𝑝
−
= min
1
6
𝑗
6
𝑁
𝑝
𝑗
. Таким
образом, общее количество полиномов Чебышева, требуемых для аппроксимации ре-
шения дифференциальной задачи (1.1)-(1.2) во всех интервалах сетки, определяется
по формуле
¯
𝑚
=
𝑁
∑︀
𝑗
=1
(
𝑝
𝑗
+1)
. В ССМ во внутренних узлах сетки
𝑦
𝑗
(
𝑗
= 1
,
2
, ..., 𝑁
−
1)
на-
лагается требование непрерывности приближенного решения (1.3) и его производных
до
(
𝑚
−
1)
–го порядка, а в граничных узлах сетки
𝑦
0
=
−
1
, 𝑦
𝑁
= 1
– удовлетворения
соответствующих краевых условий:

---

СХОДИМОСТЬ СПЕКТРАЛЬНО-СЕТОЧНОГО МЕТОДА С ПОЛИНОМАМИ ЧЕБЫШЕВА
ВТОРОГО РОДА
3
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
𝑑
𝑠
𝑢
(
𝑝𝑗
)(
𝑦𝑗
)
𝑗
𝑑𝑦
𝑠
=
𝑑
𝑠
𝑢
(
𝑝𝑗
+1)
𝑗
+1
(
𝑦
𝑗
)
𝑑𝑦
𝑠
𝑠
= 0
,
1
..., 𝑚
−
1
𝑗
= 1
,
2
, ...𝑁
−
1
𝑚
−
1
∑︀
𝑘
=0
(︁
𝛼
𝑖𝑘
𝑑
𝑘
𝑢
(
−
1)
𝑑𝑦
𝑘
+
𝛽
𝑖𝑘
𝑑
𝑘
𝑢
(+1)
𝑑𝑦
𝑘
)︁
= 0
, 𝑖
= 1
,
2
, ..., 𝑚.
(1
.
4)
Пусть
𝑈
(
𝑝
)
(
𝑦
) = (
𝑢
(
𝑝
1
)
1
(
𝑦
)
, 𝑢
(
𝑝
2
)
2
(
𝑦
)
, ..., 𝑢
(
𝑝
𝑁
)
𝑁
(
𝑦
))
,
(
𝑝
) = (
𝑝
1
, 𝑝
2
, ..., 𝑝
𝑁
)
– вектор прибли-
женного решения, где его каждая компонента определена на своем интервале. Через
𝐸
(
𝑝
)
обозначим пространство всех таких векторов
𝑈
𝑝
(
𝑦
)
, компоненты которых удо-
влетворяют соотношениям (1.4). Коэффициенты приближенного решения
𝑎
(
𝑝
𝑗
)
𝑛
опре-
делим с помощью требования ортогональности невязки
(
𝐿
0
𝑢
(
𝑝
𝑗
)
𝑗
−
𝑓
𝑗
)
к полиномам
Чебышева второго рода до номера
𝑝
𝑗
−
𝑚
с весом
𝑝
(˜
𝑦
)
на интервале
[
𝑦
𝑗
−
1
, 𝑦
𝑗
]
т.е.
∫︁
𝑦
𝑗
𝑦
𝑗
−
1
(
𝐿
0
𝑢
(
𝑝
𝑗
)
𝑗
(
𝑦
)
−
𝑓
𝑗
(
𝑦
))
𝑈
𝑘
(˜
𝑦
)
𝜌
(˜
𝑦
)
𝑑
(
𝑦
) = 0
, 𝑗
= 1
,
2
, ..., 𝑁, 𝑘
= 0
,
1
, ..., 𝑝
𝑗
−
𝑚,
(1
.
5)
где
𝑓
𝑗
(
𝑦
) =
𝑓
(
𝑦
)
|
𝑦
∈
[
𝑦
𝑗
−
1
,𝑦
𝑗
]
.
В условиях ортогональности (1.5) функция
𝜌
(˜
𝑦
)
является весовой функцией и в
отличие от весовой функции для полиномов Чебышева первого рода она определя-
ется следуюшим образом:
𝜌
(˜
𝑦
) =
√︀
1
−
˜
𝑦
2
. Видно, что число условий (1.4), (1.5)
совпадает с числом неизвестных коэффициентов
𝑎
(
𝑝
𝑗
)
𝑛
в (1.3) и равно
¯
𝑚
=
𝑁
∑︀
𝑗
=1
(
𝑝
𝑗
+
+ 1)
. Покажем, что приближенное решение задачи (1.4)-(1.5) при
𝑝
𝑗
→ ∞
сходится
к решению исходной дифференциальной задачи (1.1)-(1.2).
Примененые ССМ для решение различных гидродинамических систем изложены
в работах [18-21]. ССМ основан на принципиально новой идее [14-17]. Эта идея за-
ключается в предварительной “аппроксимации” дифференциального уравнения и по-
следующем точном решении “аппроксимирующего” уравнения. Аппроксимирующее
уравнение, как правило, конструируется так, что его решение сводится к рассмот-
рению конечной системы линейных алгебраических уравнений. При доказательстве
сходимости показано, что ССМ, примененный к задаче (1.1)-(1.2), эквивалентен опе-
раторному уравнению второго рода:
𝑋
+
𝑇 𝑋
=
𝐹
с компактным оператором в банаховом пространстве , которые определены в [14-17].
Данное уравнение можно записать в операторной форме:
𝑋
+
𝑇 𝑋
=
𝐹,
𝐹
∈
𝐿
𝑁
2
,𝜌
.
(1
.
6)
К этому уравнению можно применить общие теоремы сходимости проекционных ме-
тодов [10-13]. Аналогичное уравнение для приближенной задачи (1.4)–(1.5) можно
записать в эквивалентной форме [14-17] :
𝑋
(
𝑝
)
+
𝑃
𝑝
𝑇 𝑋
(
𝑝
)
=
𝑃
𝑝
𝐹, 𝑋
(
𝑝
)
∈
𝐿
𝑁
2
,𝜌
.
(1
.
7)
где введен проектор действующий
𝑃
𝑝
:
𝐿
𝑁
2
,𝜌
по правилу : eсли
𝑋
= (
𝑥
1
(
𝑦
)
, 𝑥
2
(
𝑦
)
, ..., 𝑥
𝑁
(
𝑦
))
и
𝑥
𝑗
(
𝑦
) =
𝑚
−
1
∑︁
𝑘
=0
𝑐
(
𝑖
)
𝑘
𝑈
𝑘
(˜
𝑦
)

---

4
Нармурадов Ч.Б., Турсунова Б.А.
то
𝑃
𝑝
𝑋
=
(︃
𝑝
1
−
𝑚
∑︁
𝑘
=0
𝑐
(1)
𝑘
𝑈
𝑘
(˜
𝑦
)
, ...,
𝑝
1
−
𝑚
∑︁
𝑘
=0
𝑐
(1)
𝑁
𝑈
𝑘
(˜
𝑦
)
)︃
ТЕОРЕМА 1.
Пусть коэффициенты и правая часть уравнения (1.1) – непре-
рывные функции. Обозначим через
𝑋
0
решение уравнения (1.6) (существование
𝑋
0
следует из однозначной разрешимости задачи (1.1) – (1.2)). Тогда при достаточно
больших
(˜
𝑝
)
( т.е. больших
𝑝
𝑗
для всех j ) уравнение (1.7) ([11],с.29) имеет един-
ственное решение
𝑋
(
𝑝
)
и справедлива оценка
⃒
⃒
⃒
⃒
𝑋
(
𝑝
)
−
𝑋
0
⃒
⃒
⃒
⃒
𝐿
𝑁
2
,𝜌
6
𝑐
0
⃒
⃒
⃒
⃒
𝑋
0
−
𝑋
0
𝜌
⃒
⃒
⃒
⃒
𝐿
𝑁
2
,𝜌
,
(1
.
8)
где
𝑋
0
𝜌
- отрезок Фурье по полиномам Чебышева функции
𝑋
0
= (
𝑥
0
1
, ..., 𝑥
0
𝑁
)
длина
≪
𝑝
≫
т.е.
𝑋
0
𝑝
= (
𝑥
0
𝑝
1
, ..., 𝑥
0
𝑝
𝑁
)
,
𝑥
(0)
𝑝
𝑖
=
𝑝
𝑗
−
𝑚
∑︁
𝑗
=0
˜
𝑐
𝑖
𝑗
𝑈
𝑗
(˜
𝑦
)
,
˜
𝑐
𝑖
𝑗
=
∫︁
𝑦
𝑗
𝑦
𝑗
−
1
𝑥
(0)
𝑖
𝑈
𝑗
(˜
𝑦
)
𝜌
(˜
𝑦
)
𝑑𝑦,
(︃
||
𝑋
0
||
2
𝐿
2
,𝜌
=
𝑁
∑︁
𝑗
=1
(︃
∞
∑︁
𝑖
=1
(˜
𝑐
(
𝑗
)
𝑖
)
2
)︃)︃
,
⃒
⃒
⃒
⃒
𝑋
(
𝑝
)
−
𝑋
0
𝑝
⃒
⃒
⃒
⃒
2
𝐿
𝑁
2
,𝜌
=
𝑁
∑︁
𝑗
=1
⎛
⎝
∞
∑︁
𝑖
=
𝑝
𝑗
−
𝑚
+1
(˜
𝑐
(
𝑗
)
𝑖
)
2
⎞
⎠
;
𝑐
0
– постоянная, зависящая от нормы обратного оператора
(
𝐸
+
𝑇
)
−
1
,
𝐸
– единичный
оператор . Доказательство данной теоремы проводится аналогично как и в работе
[11].
ТЕОРЕМА 2.
При тех же предположениях, что и в теореме 1, функция
𝑢
(
𝑝
)
(
𝑦
) =
1
∫︀
−
1
𝐺
(
𝑦, 𝜉
)
𝑥
(
𝑝
)
(
𝜉
)
𝑑𝜉
стремится к точному решению
𝑢
0
(
𝑦
)
задачи (1.1)-(1.2)
по норме
𝑤
𝑚
2
:
(︃
||
𝜙
||
2
𝑤
𝑚
2
=
𝑁
∑︁
𝑘
=0
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
𝑑
𝑘
𝜙
𝑑𝑦
𝑘
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
2
)︃
,
и справедлива оценка
⃒
⃒
⃒
⃒
𝑢
(
𝑝
)
−
𝑢
0
⃒
⃒
⃒
⃒
𝑤
𝑚
2
(
−
1
,
1)
6
𝑐
0
⃒
⃒
⃒
⃒
𝑋
(
𝑝
)
−
𝑋
0
⃒
⃒
⃒
⃒
𝐿
𝑁
2
,𝜌
,
(1
.
9)
где
˜
𝑐
0
=
𝑐
0
˜
𝑐,
˜
𝑐
= sup
𝜙
∈
𝐿
2
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
1
∫︀
−
1
𝐺
(
𝑦, 𝜉
)
𝜙
(
𝜉
)
𝑑𝜉
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
𝑤
𝑚
2
||
𝜙
||
𝐿
2
.
Доказательство теоремы 2 приведена в работе [11].
ТЕОРЕМА 3.
Пусть коэффициенты и правая часть уравнения (1.1) принадле-
жат
𝐶
𝑠
+
𝛼
[
−
1
,
1]
, тогда справедливо утверждение теоремы 1, причем оценка (1.8)
имеет вид
⃒
⃒
⃒
⃒
𝑋
(
𝑝
)
−
𝑋
0
⃒
⃒
⃒
⃒
2
𝐿
𝑁
2
,𝜌
6
˜
𝑐
1
(︂
~
𝑝
−
−
𝑚
)︂
2(
𝑠
+
𝛼
)
,
(1
.
10)
где
(
𝑝
) = (
𝑝
1
, 𝑝
2
, ..., 𝑝
𝑁
)
,
𝑝
−
= min
1
6
𝑗
6
𝑁
𝑝
𝑗
~
= max
1
6
𝑗
6
𝑁
(
𝑦
𝑗
−
𝑦
𝑗
−
1
)
,
˜
𝑐
1
=
𝑐
0
𝑐
1
,
𝑐
1
=
𝜋
2
(
𝑐
′
𝑠
, 𝑀
)
2
,
𝑐
𝑠
= 12
6
𝑠
𝑠
𝑠
𝑠
!
(︂
𝑠
+ 1
2
)︂
𝛼
,

---

СХОДИМОСТЬ СПЕКТРАЛЬНО-СЕТОЧНОГО МЕТОДА С ПОЛИНОМАМИ ЧЕБЫШЕВА
ВТОРОГО РОДА
5
константа
𝑀
определяется из условия Липшица, т.е.
|
𝑓
(
𝑠
)
(
𝑥
1
)
−
𝑓
(
𝑠
)
(
𝑥
2
)
|
6
𝑀
|
𝑥
1
−
𝑥
2
|
𝛼
.
Замечание
Условие
(
𝑝
)
−→ ∞
равносильно условию, что
𝑝
−
−→ ∞
Доказательство. Справедливо равенство
||
𝑋
𝑝
−
𝑋
0
||
2
𝐿
𝑁
2
,𝜌
=
𝑁
∑︁
𝑖
=1
𝑦
𝑗
∫︁
𝑦
𝑗
−
1
(
𝑥
(
𝑝
𝑗
)
𝑗
(
𝜉
)
−
𝑥
(0)
𝑗
(
𝜉
))
2
𝜌
( ˜
𝜉
)
𝑑𝜉.
(1
.
11)
Используем рассуждения из [14]( т.е. теорему 6, с. 365). Согласно теореме Теплера
([14],с. 307), имеем
𝑦
𝑗
∫︁
𝑦
𝑗
−
1
(
𝑥
(
𝑝
𝑗
)
𝑗
(
𝜉
)
−
𝑥
(0)
𝑗
(
𝜉
))
2
𝜌
( ˜
𝜉
)
𝑑𝜉
6
𝑦
𝑗
∫︁
𝑦
𝑗
−
1
(
𝐷
𝑝
𝑗
(
𝜉
)
−
𝑥
(0)
𝑗
(
𝜉
))
2
𝜌
( ˜
𝜉
)
𝑑𝜉,
(1
.
12)
где
𝐷
𝑝
𝑗
(
𝜉
)
– алгебраический полином степени не выше
(
𝑝
𝑗
−
𝑚
)
. Если воспользоваться
теперь более точной оценкой из теоремы Джексона ( т.е. оценкой (150) из [14], с. 164),
то получим, что такой полином
𝐷
𝑝
𝑗
(
𝜉
)
существует, и для него справедлива оценка
|
𝐷
𝑝
𝑗
(
𝑜
)
−
𝑥
(0)
𝑗
(
𝑜
)
|
6
𝑐
𝑠
(
𝑦
𝑗
−
𝑦
𝑗
−
1
)
𝑠
+6
(
𝑝
𝑗
−
𝑚
)
𝑠
+6
𝑀,
𝑗
= 1
,
2
, ..., 𝑁, 𝑝
𝑗
−
𝑚
>
𝑠
+ 1
.
Тогда продолжая неравенство (1.12), получаем
𝑦
𝑗
∫︁
𝑦
𝑗
−
1
(
𝐷
𝑝
𝑗
(
𝜉
)
−
𝑥
(0)
𝑗
(
𝜉
))
2
𝜌
( ˜
𝜉
)
𝑑𝜉
6
𝑦
𝑗
∫︁
𝑦
𝑗
−
1
(︂
(
𝑐
′
𝑠
𝑀
)
2
(︂
𝑦
𝑗
−
𝑦
𝑗
−
1
(
𝑝
𝑗
−
𝑚
)
)︂)︂
2(
𝑠
+
𝛼
)
𝜌
( ˜
𝜉
)
𝑑𝜉
6
6
(
𝑐
′
𝑠
𝑀
)
2
(︂
~
𝑝
−
−
𝑚
)︂
2(
𝑠
+
𝛼
)
𝑦
𝑗
∫︁
𝑦
𝑗
−
1
𝜌
( ˜
𝜉
)
𝑑𝜉
6
6
(
𝑐
′
𝑠
𝑀
)
2
(︂
~
𝑝
−
−
𝑚
)︂
2(
𝑠
+
𝛼
)
𝑙
𝑗
2
𝜋
2
=
𝑐
1
(︂
~
𝑝
−
−
𝑚
)︂
2(
𝑠
+
𝛼
)
𝑙
𝑗
2
,
(1
.
13)
здесь
𝑐
1
=
𝜋
2
(
𝑐
′
𝑠
𝑀
)
2
,
𝑝
−
= min
1
6
𝑗
6
𝑁
𝑝
𝑗
,
~
= max
1
6
𝑗
6
𝑁
(
𝑦
𝑗
−
𝑦
𝑗
−
1
)
,
𝑦
𝑗
∫︁
𝑦
𝑗
−
1
𝜌
( ˜
𝜉
)
𝑑𝜉
=
𝑦
𝑗
∫︁
𝑦
𝑗
−
1
√︁
1
−
˜
𝜉
2
𝑑𝜉
=
𝑙
𝑗
2
1
∫︁
−
1
√︁
1
−
˜
𝜉
2
𝑑
˜
𝜉
=
𝑙
𝑗
2
𝜋
2
так как
𝜉
=
𝑚
𝑗
2
+
𝑙
𝑗
2
˜
𝜉
а значение интеграла
1
∫︀
−
1
√︁
1
−
˜
𝜉
2
𝑑
˜
𝜉
после введения новой пере-
менной
˜
𝜉
= sin
𝑡,
𝑑
˜
𝜉
= cos
𝑡𝑑𝑡
вычислена следующим образом:
1
∫︁
−
1
√︁
1
−
˜
𝜉
2
𝑑
˜
𝜉
=
𝜋
2
∫︁
−
𝜋
2
cos
2
𝑡𝑑𝑡
=
𝜋
2
∫︁
−
𝜋
2
1 + cos 2
𝑡
2
𝑑𝑡
=
𝜋
2
+
1
4
(sin
𝜋
+ sin
𝜋
) =
𝜋
2
+ 0 =
𝜋
2
.

---

6
Нармурадов Ч.Б., Турсунова Б.А.
Подставляя оценку (1.13) в равенство (1.11), получаем
⃒
⃒
⃒
⃒
𝑋
(
𝑝
)
−
𝑋
0
⃒
⃒
⃒
⃒
2
𝐿
𝑁
2
,𝜌
6
𝑁
∑︁
𝑖
=1
𝑐
1
(︂
~
𝑝
−
−
𝑚
)︂
2(
𝑠
+
𝛼
)
𝑙
𝑗
2
=
𝑐
1
(︂
~
𝑝
−
−
𝑚
)︂
2(
𝑠
+
𝛼
)
,
так как
𝑁
∑︀
𝑗
=1
𝑙
𝑗
= 2
.
После этого оценка (1.10) из теоремы 3 есть следствие теоремы 1 и приведенных
рассуждений.
ТЕОРЕМА 4.
Если коэффициенты и правая часть уравнения ( 1.1) есть функ-
ции из
𝐶
𝑠
+
𝛼
[
−
1
,
1]
, то функция
𝑢
(
𝑝
)
(
𝑦
) =
1
∫︀
−
1
𝐺
(
𝑦, 𝜉
)
𝑥
(
𝑝
)
(
𝜉
)
𝑑𝜉
стремится к точному
решению
𝑢
0
(
𝑦
)
задачи (1.1) – (1.2) по норме
𝑤
𝑚
2
и выполнена оценка
||
𝑢
(
𝑝
)
−
𝑢
0
||
2
𝑤
𝑚
2
(
−
1
,
1)
6
𝑐
2
(︂
~
𝑝
−
−
𝑚
)︂
2(
𝑠
+
𝛼
)
,
(1
.
14)
где
𝑐
2
= ˜
𝑐
0
˜
𝑐
1
.
Доказательство. Для доказательства теоремы достаточно оценить правую часть
в (1.9). А она оценена при доказательстве теоремы 3.
Литeратура
[1]
Бахвалов Н. С.
Численные методы. — М.: Наука, 2003. 632 с.
[2]
Fox L., Parker I.B.
Chebyshev polynomials in numerical analysis. — London: Oxford
university press, 1968. 205 p.
[3]
Пашковский С.
Вычислительные применения многочленов и рядов Чебышева. —
М.: Наука, 1983. 384 с.
[4]
Сеге Г.
Ортогональные многочлены. — М.: Физматгиз, 1962. 500 с
[5]
Суетин П. К.
Классические ортогональные многочлены. — М.: Наука, 1979. 416 с.
[6]
Эдвардс Р.
Ряды Фурье в современном изложении. — В 2-хт. М.:Мир, 1985. Т.1. 264 с.
[7]
Фадеев Д. К.,Фадеева В. Н.
Вычислительные методы линейной алгебры. — М.–Л.: Физ-
матгиз, 1963. 734 с.
[8]
Калиткин Н. Н.
Численные методы. — М.: Наука, 1980. 426 с.
[9]
Коновалов А. Н.
Введение в вычислительные методы линейной алгебры. — Новоси-
бирск: Наука, 1983. 84 с.
[10]
Роуч П.
Вычислительная гидродинамика. — М.: Мир, 1980. 616 с.
[11]
Красносельский М. А., Вайникко Г. М. и др.
Приближенное решение операторных урав-
нений. — М.: Наука, 1969. 456 с.
[12]
Наймарк М. А.
Линейные дифференциальные операторы. — М.: Наука, 1984. 752 с.
[13]
Натансон И. П.
Конструктивная теория функций. — М.- Л.: Гостехиздат, 1949. 688 с.
[14]
Абуталиев Ф. Б., Нармурадов Ч. Б.
Математическое моделирование проблемы гидро-
динамической устойчивости. — Т.: Fan va texnologiya, 2011. 188 с.
[15]
Нармурадов Ч. Б., Подгаев А. Г.
Сходимость проекционно-сеточного галеркинского ме-
тода // Моделирование в механике. — Новосибирск, 1989. № 4(3). С. 113–130.
[16]
Нармурадов Ч. Б., Подгаев А. Г.
Численный метод решения задач для обыкновенных
дифференциальных уравнений на основе неоднородной сплайн – аппроксимации //

---

CONVERGENCE OF THE SPECTRAL-GRID METHOD WITH POLYNOMES OF CHEBYSHEV
SECOND KIND
7
Применение методов функционального анализа к неклассическим уравнениям мате-
матической физики. Сб. науч.тр. Инс-т. матем. СО РАН. — Новосибирск, 1989. С. 151–
164.
[17]
Нармурадов Ч. Б., Подгаев А. Г.
Сходимость спектрально-сеточного метода // Узбек-
ский математический журнал. — Ташкент, 2003. № 2. С. 64–71.
[18]
Нармурадов Ч. Б.
Алгоритм спектрально-сеточного метода для решения задачи гид-
родинамической устойчивости пограничного слоя // Узбекский журнал «Проблемы
информатики и энергетики». — Ташкент, 2001. № 5-6. С. 57–60.
[19]
Нармурадов Ч. Б.
Спектрально-сеточный метод и его применение к задачам гидроди-
намической устойчивости // Современные проблемы алгоритмизации и программиро-
вания: Тез. докл.респ.конф. 5-7 сентября 2001. — Ташкент, 2001. С. 186–188.
[20]
Абуталиев Ф. Б.,Нармурадов Ч. Б.
Спектрально-сеточная аппроксимация уравнений
гидродинамической устойчивости для двухфазных потоков // Современные проблемы
математической физики и информационных технологий:Тр.Межд.конф. 18-27 апреля
2005. — Ташкент, 2005. Т.2. С. 102–104.
[21]
Нармурадов Ч. Б.
Об одном эффективном методе решения уравнения Орра - Зоммер-
фельда // Математическое моделирование. — Москва, 2005. № 9(17). С. 35–42.
Поступила в редакцию 20.08.2019
UDC 517.956.6
CONVERGENCE OF THE SPECTRAL-GRID METHOD
WITH POLYNOMES OF CHEBYSHEV SECOND KIND
Normurodov Ch.B.,Tursunova B.A.
[e-mail], [e-mail]
Termiz State University, Barkamol avlod st., Termiz, Uzbekistan
Numerical methods are increasingly used to study mathematical models of hydrody-
namic systems. One of the effective methods for solving such systems is the spectral-grid
method, where Chebyshev first kind polynomials are used as basis functions. Chebyshev
polynomials have the following important properties: 1) For even (odd)
𝑛
, the polynomial
𝑇
𝑛
(
𝑥
)
contains only even (odd) powers of
𝑛
, i.e. is an even (odd) function. 2) The leading
coefficient of the polynomial
𝑇
𝑛
(
𝑥
)
when is equal to. 3) The polynomial
𝑇
𝑛
(
𝑥
)
has
𝑛
real
roots in the interval. 4) The maximum value of the polynomial
𝑇
𝑛
(
𝑥
)
on the segment is
1. 5) The polynomial
𝑇
𝑛
(
𝑥
)
among all
𝑛
th-degree polynomials with the highest coeffi-
cient equal to one has the smallest maximum modulus on the segment. These remarkable
properties of Chebyshev polynomials can be used to construct effective computational
methods. Along with the Chebyshev polynomials of the first kind, there are Chebyshev
polynomials of the second kind possessing almost the same properties. Therefore, the
study of the convergence of the spectral-grid method with Chebyshev polynomials of the
second kind is of undoubted interest. In this article, the spectral-grid method with basic
functions of Chebyshev polynomials of the second kind is used to study the boundary
value problem of a linear ordinary differential equation of a general form under linear
homogeneous boundary conditions, since studies of many hydrodynamic flows fall under
this class of equations. First, the spectral-grid method is constructed in a constructive
form, then functional spaces are introduced and the corresponding design operators are

---

8
Normurodov Ch.B.,Tursunova B.A.
entered into it. After this, theorems on the convergence of the spectral-grid method are
proved and the estimates of the rate of convergence of the method are established.
Keywords:
hydrodynamic systems, spectral-grid method, Chebyshev polynomials of
the first kind and second kind, basic functions, linear homogeneous boundary conditions,
hydrodynamic flows, Fourier series segment, convergence, convergence rate estimate
Citation:
Normurodov Ch.B.,Tursunova B.A. 2019.
CONVERGENCE OF THE
SPECTRAL-GRID METHOD WITH POLYNOMES OF CHEBYSHEV SECOND
KIND.
Problems of Computational and Applied Mathematics
. 3(15): 1–8.