Способы решения функциональных уравнений

3.1.1 Класс непрерывных функций

Для рациональных x мы установили, что f(x) = ax. Осталось показать, что это соотношение справедливо и для иррациональных x. Пусть x будет любое иррациональное число. Тогда существует последовательность рациональных чисел , сходящаяся к этому числу x (это известный факт; можно, например, взять отрезки соответствующей бесконечной десятичной дроби). По доказанному


f(r_n) = ar_n (n = 1,2,3, . . .).

Перейдём здесь к пределу при

Справа мы получим ax, слева же, именно ввиду предположенной непрерывности функции f, получится

так что, окончательно,

f(x) = ax.

Таким образом, действительно, все непрерывные аддитивные функции являются линейными однородными. Последняя формула даёт самое общее решение функционального уравнения (3.1.1).

3.1.2 Класс монотонных функций

Здесь мы будем предполагать, что функция f не убывает на всей действительной оси (случай невозрастания функции рассматривается аналогично). Значит для любых x₁ < x₂.
Для рациональных x доказано f(x) = x·f(1). Возьмём произвольное иррациональное x. Известно, что любое иррациональное число можно сколь угодно точно приблизить рациональными числами, поэтому для любого натурально q существует целое p такое, что


(3.1.2.1)

и при достаточно больших q число x расположено между двумя очень близкими рациональными числами, разность между которыми равна . Используя монотонность функции f, находим

откуда (воспользовавшись соотношением для рациональных значений функции f)

, a = f(1). (3.1.2.2)

Так как из (3.1.1.4) f(0) = 0, то , ведь функция f не убывает, значит,

Если a = 0, то из неравенств имеем .
Если a = 0, то из (3.1.2.2)


. (3.1.2.3)

Сравнивая эти неравенства с (3.1.2.1), получим

Покажем это. Предположим, что это неверно, например,

для выбранного иррационального x. Подберём q настолько большим, чтобы дробь попала между и x

что противоречиво с (3.1.2.3). Полученное противоречие показывает, что

для любого заданного иррационального x, поэтому f(x) = ax для всех x.