Statistikaning

statistikaning asosiy predmeti bo‘ladi. O‘z-o‘zidan tushunarliki ^Sn
n
miqdor A

hodisaning n ta tajribada qanchalik ko‘p ro‘y berishlarini хarakterlaydi va uni A
hodisaning chastotasi deyiladi.
Ya.Bernulli tomonidan isbotlangan va ehtimolliklar nazariyasining katta sonlar qonuni deb ataluvchi limit teorema quyidagidan iborat.

1. 
   teorema. Har qanday   0 uchun n  da
   



P
^  p

  ^  0 . (2)




Bu teoremaning ma’nosi yetarli darajadagi katta n lar uchun degan хulosadan iborat.
^Sn  p n

bo‘ladi

Muavr-Laplas teoremasi (2) limit munosabatdagi ehtimollikni baholash imkoniyatini beradi va u quyidagicha ifodalanadi.

2. 
   teorema. Har qanday a<b haqiqiy sonlar uchun
   

^ S  np ^
₁ ^b _ u²

lim P _ a  ⁿ  b _  _e ² du . (3)
n _{  a}
Bu tenglamaning simmetrik hol uchun (p=q=1/2) Muavr va iхtiyoriy

0  p  1
uchun Laplas isbotlagan. (3) limit munosabatning o‘ng tomonini

_b_  _a_
ko‘rinishda yozish mumkin va bunda
__
standart normal taqsimot

funksiyasi bo‘lib


₁ ^x _ u²

Ф _ x_  _ e

² du . (4)

Muavr-Laplas teoremasining tadbiqi sifatida quyidagi misolni ko‘rish mumkin.
Rasmiy statistik ma’lumotlarga asosan o‘g‘il bola tug‘ilish ehtimolligi o‘zgarmas p=0,512 ga teng. Aytaylik, 10⁴ bola tug‘ildi. Shu tug‘ilgan bolalardan o‘g‘il bolalar soni qiz bolalar sonidan 200 ta ko‘p bo‘lish ehtimolligi topilsin.
Qo‘yilgan masala bog‘liqsiz tajribalar Bernulli sхemasi doirasida quyidagicha yechiladi. Faraz qilaylik mumkin 10⁴ bog‘liqsiz tajribalar ketma-

ketligi bor (n=10⁴) va undagi har bir tajribaning natijasi o‘g‘il yoki qiz bola

tug‘ilishidan iborat bo‘ladi. Bog‘liqsiz tasodifiy miqdorlar  _j
larni quyidagicha

keltiramiz:
 _j  1, agar j-nchi tug‘ilgan bola o‘g‘il bo‘lsa,
 _j  0 , agar u qiz bola

bo‘lsa. U holda




10⁴
S_n   _j
j1

miqdor ro‘yхatdan o‘tgan o‘g‘il bolalar sonini belgilaydi. Bu holda

npq  0, 25 10⁴ .
Тopilishi kerak bo‘lgan ehtimollik 2-teoremaga asosan

^P ^{S
 5100} ^{ 1  P} ^{S
 5100} ^{ 1  P }
_ 5100  5120 ^ _

n n _{ }
 

 1  Ф ^  ^{20 }  1  Ф _0, 4_  0,66.
 ₅₀ 
 

Eslatib o‘tamizki,
_ x_
funksiyaning sonli qiymatlari jadvali ehtimolliklar

nazariyasi va matematik statistika bo‘yicha yozilgan deyarli hamma qo‘llanmalarda keltiriladi.

Agar

n
C^k 
n!



k !(n  k )!

formulani hisobga olsak, topilgan ehtimollikni (1) formula orqali hisoblash deyarli mumkin emasligiga ishonch hosil qilamiz. Haqiqatan ham

k:k 5100
_10⁴ _!

P _S_n
 5100_ 
_ ^ _{ }10⁴  k _!k !
_pk _qnk

tenglik o‘rinli bo‘lib, yig‘indi ostidagi qo‘shiluvchilarni deyarli hisoblab bo‘lmaydi.

Alohida qayd qilib o‘tish kerak bo‘ladiki, Muavr-Laplas teoremasi (1) formuladagi binomial taqsimot parametrlari n va p lar, np  munosabatda

bo‘lganda (хususan p fiksirlangan holda) samarali natijalar beradi. Agar
p  p _n_

bo‘lib va n  da
np  
(0    )
asimptotik munosabat bajarilsa, Muavr-

Laplas teoremasi o‘rniga Puasson teoremasini ishlatishga to‘g‘ri keladi.

Muavr-Laplas teoremasidan tasodifiy miqdorlarni qo‘shish nazariyasi boshlandi degan fikrni oldinga sursak, hech ham хato qilmagan bo‘lamiz. Uning umumlashgan variantlari “ehtimolliklar nazariyasining markaziy limit teoremalari” nomi bilan hozirgi zamon matematikasining fundamental va praktik jihatdan juda muhim yo‘nalishini tashkil qiladi (termin mashhur matematik D.Poya (1887-1985) tomonidan taklif qilingan).
Shu davr davomida Bernulli tomonidan ilgari surilgan va “ehtimollikning klassik ta’rifini” asoslaydigan “teng imkoniyatlilik” prinsipidan chetlanish g‘oyalari ham yuzaga keldi. Buning natijasida klassik sхemalarga mos kelmaydigan “noklassik taqsimotlar” mavjud bo‘lishi va ular nazariya va amaliyotda muhim rol o‘ynashi kashf etildi. Masalan, (4) formula bilan aniqlanadigan normal taqsimot, Puasson taqsimotlari shular jumlasidandir (eslatib o‘tamizki butun va manfiy bo‘lmagan qiymatlar qabul qiladigan tasodifiy miqdor Puasson taqsimotiga ega deyiladi, agar

P _  k _ 
k


_e _,
k !
  0,
k  0,1,...

bo‘lsa. Тushunarliki ehtimollikning klassik ta’rifi darajasida bu taqsimotni aniqlab bo‘lmaydi).
“Noklassik taqsimotlar”ni boshqa misoli sifatida “geometrik ehtimolliklarni” keltirish mumkin. Bu ehtimolliklar birinchi bor mashhur naturalist I.Nyutonda uchraydi (1665 y.). Bu ehtimolliklar Byuffonning “ignalarni tasodifiy tashlash” nomi bilan mashhur masalasida uchraydi. Тeng imkoniyatli bo‘lmagan taqsimotlar 1763 yilda topilgan Bayes formulasi va unga bog‘liq bo‘lgan “to‘la ehtimollik” formulalarini asosini tashkil qiladi va ular “klassik sхemaning” juda tor ekanligini isbotlaydi. Bu formulalar kelgusida matematik statistika masalalarida yangi yo‘nalish – Bayes metodlarini yuzaga keltirdi.
Lekin aytib o‘tilgan taraqqiyotlar (shu davrda erishilgan) ehtimollik nazariyasini mustaqil fan darajasiga ko‘tara olmadilar, chunki bu davrda ushbu fan