Stokastik modelni yaratish. Stoxastik jarayon modeli. Belgilarni modellashtirishning muhim turi oʻrganilayotgan turli obʼyektlar va hodisalar bir XIL matematik tavsifga EGA boʻlishi mumkinligiga asoslangan matematik modellashtirishdir

J
IZZAX DAVLAT PEDAGOGIKA INSTITUTI
MAXSUS SIRTQI BO’LIMI
INFORMATIKA O’QITISH METODIKASI YO’NALISHI
703-GURUH TALABASI
QILICHEV FARRUXNING
KAMPYUTERLARNI MODELLASHTIRISH FANIDAN
AMALIY ISHI


Stokastik modelni yaratish. Stoxastik jarayon modeli. Belgilarni modellashtirishning muhim turi oʻrganilayotgan turli obʼyektlar va hodisalar bir xil matematik tavsifga ega boʻlishi mumkinligiga asoslangan matematik modellashtirishdir.
Stokastik differensial tenglamalar
Bitiruv malakaviy ishning vazifalaridan biri bu sistema uchun stoxastik differensial tenglamani yozish vazifasidir, shunda stokastik atama o‘rganilayotgan tizim strukturasi bilan bog‘lanadi. Bu muammoning mumkin bo'lgan yechimlaridan biri bir xil tenglamadan stoxastik va deterministik qismlarni olishdir. Ushbu maqsadlar uchun Fokker-Plank tenglamasi bilan yaqinlashishi mumkin bo'lgan asosiy kinetik tenglamadan foydalanish qulay, buning uchun, o'z navbatida, Langevin tenglamasi ko'rinishida ekvivalent stokastik differensial tenglamani yozish mumkin.
Stokastik differensial tenglama va Fokker-Plank tenglamasi o'rtasidagi munosabatni ko'rsatish uchun zarur bo'lgan asosiy ma'lumotlarni, shuningdek, stokastik hisobning asosiy tushunchalarini o'z ichiga oladi.
Ikkinchi bobda tasodifiy jarayonlar nazariyasidan asosiy ma'lumotlar keltirilgan va bu nazariya asosida bir bosqichli jarayonlarni modellashtirish usuli shakllantirilgan.
Bir bosqichli jarayonlar butun sonlar hududida qiymatlarni qabul qiluvchi, uzluksiz vaqtli Markov jarayonlari deb tushuniladi, ularning o'tish matritsasi faqat qo'shni bo'limlar orasidagi o'tishga imkon beradi.
Ko'p o'lchovli bir bosqichli jarayonni ko'rib chiqamiz X() = (i(),2(), ...,n()) = ( j(), = 1, ) , (0.1) Ê, bu erda X() jarayoni ko'rsatilgan vaqt oralig'ining uzunligi. G \u003d (x, \u003d 1, Ê NQ x NQ1) to'plami tasodifiy jarayon olishi mumkin bo'lgan diskret qiymatlar to'plamidir.
Bu bir bosqichli jarayon uchun vaqt birligida s+ va s da Xj holatidan mos ravishda Xj__i va Xj_i holatga o‘tish ehtimoli kiritiladi. Bunday holda, vaqt birligida x holatidan ikki yoki undan ortiq bosqichga o'tish ehtimoli juda kichik deb hisoblanadi. Shuning uchun tizimning Xj holat vektori G( uzunlikdagi bosqichlarda o'zgaradi, deb aytishimiz mumkin va keyin x dan Xj+i va Xj_i ga o'tishlar o'rniga mos ravishda X dan X + Gí va X - Gí ga o'tishlarni ko'rib chiqishimiz mumkin. .
Tizim elementlarining o'zaro ta'siri natijasida vaqtinchalik evolyutsiya sodir bo'lgan tizimlarni modellashda asosiy kinetik tenglamadan foydalangan holda tasvirlash qulay (boshqa nomi - asosiy tenglama, ingliz adabiyotida esa u Master equation deb ataladi). Keyinchalik, asosiy kinetik tenglamadan Langevin tenglamasi ko'rinishidagi stokastik differensial tenglama yordamida bir bosqichli jarayonlar bilan tavsiflangan o'rganilayotgan tizimning tavsifini qanday olish kerakligi haqida savol tug'iladi. Rasmiy ravishda, faqat stokastik funktsiyalarni o'z ichiga olgan tenglamalar stokastik tenglamalar sifatida tasniflanishi kerak. Shunday qilib, faqat Langevin tenglamalari bu ta'rifni qondiradi. Biroq, ular boshqa tenglamalar, ya'ni Fokker-Plank tenglamasi va asosiy kinetik tenglama bilan bevosita bog'liq. Shuning uchun bu tenglamalarning barchasini birgalikda ko'rib chiqish mantiqiy ko'rinadi. Shuning uchun bu masalani yechish uchun asosiy kinetik tenglamani Fokker-Plank tenglamasi orqali yaqinlashtirish taklif etiladi, buning uchun Langevin tenglamasi ko'rinishidagi ekvivalent stokastik differensial tenglamani yozish mumkin.
2.2-bo'lim ko'p o'lchovli bir bosqichli jarayonlar bilan tavsiflangan tizimlarni tavsiflash va stokastik modellashtirish usulini shakllantiradi.
Bundan tashqari, Fokker-Plank tenglamasi uchun koeffitsientlarni o'rganilayotgan tizim uchun o'zaro ta'sir sxemasi, holat o'zgarishi vektori r va s+ va s- o'tish ehtimoli uchun ifodalar yozilgandan so'ng darhol olinishi mumkinligi ko'rsatilgan, ya'ni. bu usulni amaliy qo'llashda asosiy kinetik tenglamani yozishga hojat yo'q.
2.3-bo'lim. olingan natijalarni tasvirlash uchun uchinchi bobda qo'llaniladigan stokastik differensial tenglamalarni sonli yechish uchun Runge-Kutta usuli ko'rib chiqiladi.
Uchinchi bobda ikkinchi bobda tasvirlangan stokastik modellarni qurish usulini qo'llash illyustratsiyasi, "yirtqich-o'lja", simbioz, raqobat kabi o'zaro ta'sir qiluvchi populyatsiyalarning o'sish dinamikasini tavsiflovchi tizimlar misolida keltirilgan. modifikatsiyalar. Maqsad ularni stokastik differensial tenglamalar sifatida yozish va stoxastikani joriy etishning tizim xatti-harakatlariga ta'sirini o'rganishdir.
3.1-bo'limda. ikkinchi bobda tasvirlangan usulni qo'llash "yirtqich-o'lja" modeli misolida tasvirlangan. "Yirtqich-o'lja" turidagi ikki turdagi populyatsiyalarning o'zaro ta'siri bo'lgan tizimlar keng miqyosda o'rganilgan, bu esa olingan natijalarni allaqachon ma'lum bo'lganlar bilan solishtirish imkonini beradi.
Olingan tenglamalarning tahlili shuni ko'rsatdiki, tizimning deterministik harakatini o'rganish uchun olingan stokastik differensial tenglamaning A drift vektoridan foydalanish mumkin, ya'ni. Ishlab chiqilgan usul ham stokastik, ham deterministik xatti-harakatlarni tahlil qilish uchun ishlatilishi mumkin. Bundan tashqari, stokastik modellar tizim xatti-harakatlarining yanada real tavsifini beradi degan xulosaga keldi. Xususan, deterministik holatda "yirtqich-o'lja" tizimi uchun tenglamalar yechimlari davriy shaklga ega va faza hajmi saqlanib qoladi, stokastikani modelga kiritish esa faza hajmining monoton o'sishini beradi. bir yoki ikkala populyatsiyaning muqarrar o'limini ko'rsatadi. Olingan natijalarni vizualizatsiya qilish uchun raqamli simulyatsiya o'tkazildi.
3.2-bo'lim. Ishlab chiqilgan usul o'lja o'rtasidagi turlararo raqobat, simbioz, raqobat va uch populyatsiyaning o'zaro ta'siri modelini hisobga olgan holda "yirtqich-o'lja" modeli kabi populyatsiya dinamikasining turli stoxastik modellarini olish va tahlil qilish uchun ishlatiladi.

Stokastik hisoblar haqida ma'lumot

Tasodifiy jarayonlar nazariyasining rivojlanishi tabiat hodisalarini o'rganishda populyatsiya dinamikasining deterministik tasvirlari va modellaridan ehtimolliklarga o'tishga olib keldi va natijada matematik biologiyada stokastik modellashtirishga bag'ishlangan ko'plab asarlar paydo bo'ldi. , kimyo, iqtisod va boshqalar. Deterministik populyatsiya modellarini ko'rib chiqishda, masalan muhim nuqtalar, tizim evolyutsiyasiga turli omillarning tasodifiy ta'siri sifatida. Populyatsiya dinamikasini tavsiflashda shaxslarning ko'payishi va omon qolishining tasodifiy tabiatini, shuningdek, vaqt o'tishi bilan atrof-muhitda yuzaga keladigan va tizim parametrlarining tasodifiy o'zgarishiga olib keladigan tasodifiy tebranishlarni hisobga olish kerak. Shuning uchun populyatsiya dinamikasining har qanday modeliga ushbu momentlarni aks ettiruvchi ehtimollik mexanizmlarini kiritish kerak.

Stokastik modellashtirish barcha deterministik omillarni ham, deterministik modellardan olingan xulosalarni sezilarli darajada o'zgartirishi mumkin bo'lgan tasodifiy ta'sirlarni ham hisobga olgan holda populyatsiya xususiyatlaridagi o'zgarishlarni to'liqroq tavsiflashga imkon beradi. Boshqa tomondan, ular aholi xulq-atvorining sifat jihatidan yangi qirralarini ochish uchun ishlatilishi mumkin.
Populyatsiya holatlaridagi o'zgarishlarning stoxastik modellarini tasodifiy jarayonlar yordamida tasvirlash mumkin. Ba'zi taxminlarga ko'ra, biz aholining hozirgi holatini hisobga olgan holda, bu holatga qanday erishilganiga bog'liq emas deb taxmin qilishimiz mumkin (ya'ni, hozirgi paytda, kelajak o'tmishga bog'liq emas). Bu. Populyatsiya dinamikasi jarayonlarini modellashtirish uchun maqolaning ikkinchi qismida batafsil tavsiflangan Markovning tug'ilish-o'lim jarayonlari va tegishli nazorat tenglamalaridan foydalanish qulay. N. N. Kalinkin o'z asarlarida o'zaro ta'sir qiluvchi elementlar bilan tizimlarda sodir bo'ladigan jarayonlarni tasvirlash uchun o'zaro ta'sir sxemalaridan foydalanadi va shu sxemalar asosida tarmoqlanish apparati yordamida ushbu tizimlarning modellarini quradi. Markov jarayonlari. Ushbu yondashuvni qo'llash kimyoviy, populyatsiya, telekommunikatsiya va boshqa tizimlardagi jarayonlarni modellashtirish misolida ko'rsatilgan.
Maqolada populyatsiyaning ehtimoliy modellari ko'rib chiqiladi, ularni qurish uchun tug'ilish-o'lim jarayonlari apparati qo'llaniladi va natijada differensial-farq tenglamalari tizimlari tasodifiy jarayonlar uchun dinamik tenglamalardir. Maqolada ushbu tenglamalarning yechimlarini topish usullari ham ko'rib chiqiladi.
Siz aholi sonining o'zgarishi dinamikasiga ta'sir qiluvchi turli omillarni hisobga olgan stoxastik modellarni qurishga bag'ishlangan ko'plab maqolalarni topishingiz mumkin. Shunday qilib, masalan, maqolalarda odamlar zararli moddalarni o'z ichiga olgan oziq-ovqat resurslarini iste'mol qiladigan biologik hamjamiyat hajmi dinamikasi modeli quriladi va tahlil qilinadi. Populyatsiya evolyutsiyasi modelida esa maqola populyatsiyalar vakillarining yashash joylarida joylashishi omilini hisobga oladi. Model o'ziga mos keladigan Vlasov tenglamalari tizimidir.
Fluktuatsiyalar nazariyasi va qo'llanilishiga bag'ishlangan asarlarni ta'kidlash kerak stokastik usullar ichida tabiiy fanlar fizika, kimyo, biologiya va boshqalar kabi. Xususan, “yirtqich-o‘lja” turiga ko‘ra o‘zaro ta’sir qiluvchi populyatsiyalar sonining o‘zgarishining matematik modeli ko‘p o‘lchovli Markov tug‘ilish-o‘lim jarayonlariga asoslanadi. "Yirtqich-o'lja" modelini tug'ilish-o'lim jarayonlarini amalga oshirish deb hisoblash mumkin. Ushbu talqinda ular fanning ko'plab sohalarida modellar uchun ishlatilishi mumkin. 1970-yillarda M. Doi yaratilish-annigilyatsiya operatorlari asosida (ikkinchi kvantlash analogiyasi bo'yicha) bunday modellarni o'rganish usulini taklif qildi. Bu erda siz ishni belgilashingiz mumkin. Bundan tashqari, bu usul hozirda M. M. Gnatich guruhida faol rivojlanmoqda. Populyatsiya dinamikasi modellarini modellashtirish va o'rganishning yana bir yondashuvi optimal boshqarish nazariyasi bilan bog'liq. Bu erda siz ishni belgilashingiz mumkin. Shuni ta'kidlash mumkinki, populyatsiya jarayonlarining stoxastik modellarini qurishga bag'ishlangan ishlarning aksariyati differensial-farq tenglamalarini olish va keyinchalik raqamli amalga oshirish uchun tasodifiy jarayonlar apparatidan foydalanadi. Bundan tashqari, Langevin ko'rinishidagi stokastik differensial tenglamalar keng qo'llaniladi, ularda stokastik atama tizimning xatti-harakati haqidagi umumiy fikrlardan qo'shiladi va tasodifiy ta'sirlarni tavsiflash uchun mo'ljallangan. muhit. Modelni keyingi o'rganish ularning sifat tahlili yoki raqamli usullar yordamida echimlarni topishdir.
Stokastik differensial tenglamalar Ta'rif 1. Stokastik differensial tenglama - bu bir yoki bir nechta hadlar stokastik jarayonni ifodalovchi differensial tenglama. Stokastik differensial tenglamaning (SDE) eng ko'p qo'llaniladigan va taniqli misoli oq shovqinni tavsiflovchi va Wiener jarayoni Wt, t 0 sifatida ko'rish mumkin bo'lgan atamali tenglamadir.
Stokastik differensial tenglamalar turli xil tasodifiy buzilishlarga duchor bo'lgan dinamik tizimlarni o'rganish va modellashtirishda muhim va keng qo'llaniladigan matematik vositadir.
Tabiat hodisalarini stoxastik modellashtirishning boshlanishi deb R.Braun 1827-yilda suyuqlikdagi oʻsimlik changlarining harakatini oʻrganib, kashf etgan Broun harakati hodisasining tavsifi hisoblanadi. Ushbu hodisaning birinchi qat'iy tushuntirishlari mustaqil ravishda A. Eynshteyn va M. Smoluxovski tomonidan berilgan. A. Eynshteyn va M. Smoluxovskiyning Broun harakati haqidagi asarlari to‘plangan maqolalar to‘plamini ta’kidlash joiz. Bu tadqiqotlar Braun harakati nazariyasining rivojlanishiga va uni eksperimental tekshirishga katta hissa qo'shdi. A. Eynshteyn Braun harakatining miqdoriy tavsifi uchun molekulyar kinetik nazariyani yaratdi. Olingan formulalar J. Perrinning 1908-1909 yillardagi tajribalari bilan tasdiqlangan. Ko'p o'lchovli bir bosqichli jarayonlarni modellashtirish usuli. O'zaro ta'sir qiluvchi elementlarga ega tizimlar evolyutsiyasini tavsiflash uchun ikkita yondashuv mavjud - bu deterministik yoki stokastik modellarni qurish. Deterministikdan farqli o'laroq, stokastik modellar o'rganilayotgan tizimlarda sodir bo'ladigan jarayonlarning ehtimollik xususiyatini, shuningdek, ta'sirni hisobga olishga imkon beradi. tashqi muhit, bu model parametrlarida tasodifiy tebranishlarni keltirib chiqaradi.
O'rganish ob'ekti - bu tizimlar, ularda sodir bo'ladigan jarayonlarni bir bosqichli jarayonlar yordamida tavsiflash mumkin bo'lgan va ularning bir holatining boshqasiga o'tishi tizim elementlarining o'zaro ta'siri bilan bog'liq. Misol tariqasida, o'zaro ta'sir qiluvchi populyatsiyalarning o'sish dinamikasini tavsiflovchi modellarni keltirish mumkin, masalan, "yirtqich-o'lja", simbioz, raqobat va ularning modifikatsiyalari. Maqsad bunday tizimlar uchun SDE ni yozish va deterministik xatti-harakatni tavsiflovchi tenglama yechimining harakatiga stokastik qismning kiritilishining ta'sirini o'rganishdir.
Kimyoviy kinetika O'zaro ta'sir qiluvchi elementlarga ega bo'lgan tizimlarni tavsiflashda paydo bo'ladigan tenglamalar tizimlari ko'p jihatdan kimyoviy reaktsiyalar kinetikasini tavsiflovchi differensial tenglamalar tizimlariga o'xshaydi. Shunday qilib, masalan, Lotka-Volterra tizimi dastlab Lotka tomonidan qandaydir faraziy kimyoviy reaksiyani tavsiflovchi tizim sifatida chiqarilgan va faqat keyinroq Volterra uni "yirtqich-o'lja" modelini tavsiflovchi tizim sifatida chiqargan. Kimyoviy kinetika kimyoviy reaktsiyalarni stoxiometrik tenglamalar - reaktivlar va mahsulotlarning miqdoriy nisbatlarini aks ettiruvchi tenglamalar yordamida tasvirlaydi. kimyoviy reaksiya va quyidagi umumiy shaklga ega: bu erda ti va U natural sonlari stexiometrik koeffitsientlar deyiladi. Bu kimyoviy reaksiyaning ramziy yozuvidir, unda Xi reaktivining ti molekulalari, Xp reagentining ni2 molekulalari, ..., Xp reaktivining tr molekulalari reaksiyaga kirib, Yí moddaning u molekulalarini hosil qiladi, u mos ravishda I2 moddaning molekulalari, ..., Yq moddaning nq molekulalari . Kimyoviy kinetikada kimyoviy reaksiya faqat reagentlarning bevosita o'zaro ta'sirida sodir bo'lishi mumkin, deb ishoniladi va kimyoviy reaksiya tezligi birlik hajmda vaqt birligida hosil bo'lgan zarrachalar soni sifatida aniqlanadi. Kimyoviy kinetikaning asosiy postulati bu massa ta'siri qonuni bo'lib, unda kimyoviy reaktsiya tezligi reaktivlarning stexiometrik koeffitsientlari kuchidagi konsentratsiyalari mahsulotiga to'g'ridan-to'g'ri proportsionaldir. Demak, agar tegishli moddalarning konsentrasiyalarini XI va y I bilan belgilasak, u holda kimyoviy reaksiya natijasida modda konsentratsiyasining vaqt o‘tishi bilan o‘zgarish tezligi tenglamasiga ega bo‘lamiz:
Bundan tashqari, kimyoviy kinetikaning asosiy g'oyalarini evolyutsiyasi ushbu tizim elementlarining bir-biri bilan o'zaro ta'siri natijasida sodir bo'lgan tizimlarni tavsiflashda quyidagi asosiy o'zgarishlarni amalga oshirish taklif etiladi: 1. reaksiya tezligi emas. ko'rib chiqiladi, lekin o'tish ehtimoli; 2. o'zaro ta'sir natijasi bo'lgan bir holatdan ikkinchi holatga o'tish ehtimoli mumkin bo'lgan o'zaro ta'sirlar soniga proportsional bo'lishi taklif etiladi. bu turdagi; 3. tizimni tavsiflash bu usul asosiy kinetik tenglamadan foydalaniladi; 4. deterministik tenglamalar stokastik tenglamalar bilan almashtiriladi. Bunday tizimlarning tavsifiga o'xshash yondashuvni asarlarda topish mumkin. Simulyatsiya qilingan tizimda sodir bo'ladigan jarayonlarni tavsiflash uchun, yuqorida aytib o'tilganidek, Markovning bir bosqichli jarayonlaridan foydalanish kerak.
Bir-biri bilan turli yo'llar bilan o'zaro ta'sir qilishi mumkin bo'lgan turli xil elementlarning turlaridan iborat tizimni ko'rib chiqing. --chi turdagi element bilan belgilang, bu erda = 1 va --chi turdagi elementlar soni.
Bo'lsin (), .
Faraz qilaylik, fayl bir qismdan iborat. Shunday qilib, faylni yuklab olmoqchi bo'lgan yangi tugun va faylni tarqatuvchi tugun o'rtasidagi o'zaro ta'sirning bir bosqichida yangi tugun butun faylni yuklab oladi va tarqatuvchi tugunga aylanadi.
Keling, yangi tugunning belgilanishi, tarqatuvchi tugun va o'zaro ta'sir koeffitsienti. Yangi tugunlar tizimga intensivlik bilan kirishi mumkin va tarqatuvchi tugunlar uni intensivlik bilan tark etishi mumkin. Keyin o'zaro ta'sir sxemasi va r vektori quyidagicha ko'rinadi:
Langevin ko'rinishidagi stokastik differensial tenglamani mos keladigan formula (1.15) yordamida 100 ga olish mumkin. Chunki Drift vektori A tizimning deterministik xatti-harakatlarini to'liq tavsiflaydi, siz yangi mijozlar va urug'lar sonining dinamikasini tavsiflovchi oddiy differentsial tenglamalar tizimini olishingiz mumkin:
Shunday qilib, parametrlarni tanlashga bog'liq yagona nuqta boshqa xarakterga ega bo'lishi mumkin. Shunday qilib, /3A 4/I2 uchun yagona nuqta barqaror fokus, teskari munosabat uchun esa barqaror tugun hisoblanadi. Ikkala holatda ham yagona nuqta barqaror, chunki koeffitsient qiymatlarini tanlash, tizim o'zgaruvchilaridagi o'zgarishlar ikkita traektoriyadan biri bo'ylab sodir bo'lishi mumkin. Agar yagona nuqta fokus bo'lsa, u holda tizim sönümli tebranishlar yangi va tarqatuvchi tugunlar soni (3.12-rasmga qarang). Va tugun holatida raqamlarning statsionar qiymatlarga yaqinlashishi tebranishsiz rejimda sodir bo'ladi (3.13-rasmga qarang). Bosqichli portretlar ikkala holatning har biri uchun tizimlar mos ravishda (3.14) va (3.15) grafiklarda tasvirlangan.
"Iqtisodiyot va menejment" seriyasi
6. Kondratiyev N.D. Katta konyunktura sikllari va bashorat nazariyasi. - M.: Iqtisodiyot, 2002. 768 b.
7. Kuzyk B.N., Kushlin V.I., Yakovets Yu.V. Prognozlash, strategik rejalashtirish va milliy dasturlash. M.: "Iqtisodiyot" nashriyoti, 2008. 573 b.
8. Lyasnikov N.V., Dudin M.N. Modernizatsiya innovatsion iqtisodiyot venchur bozorining shakllanishi va rivojlanishi kontekstida // Ijtimoiy fanlar. M.: "MII Nauka" nashriyoti, 2011. No 1. S. 278-285.
9. Sekerin V.D., Kuznetsova O.S. Innovatsion loyihalarni boshqarish strategiyasini ishlab chiqish // Moskva davlat biznes boshqaruvi akademiyasining axborotnomasi. Seriya: Iqtisodiyot. - 2013 yil. No 1 (20). - S. 129 - 134.
10. Yakovlev V.M., Senin A.S. Rossiya iqtisodiyotini rivojlantirishning innovatsion turiga alternativa yo'q // Innovatsion iqtisodiyotning dolzarb masalalari. M.: "Fan" nashriyoti; Rossiya Federatsiyasi Prezidenti huzuridagi Rossiya san'at va fanlar akademiyasining menejment va marketing instituti, 2012. No 1(1).
11. Baranenko S.P., Dudin M.N., Ljasnikov N.V., Busygin KD. Sanoat korxonalarini innovatsiyaga yo'naltirilgan rivojlantirishda ekologik yondashuvdan foydalanish // American Journal of Applied Sciences.- 2014.- Vol. 11, No2, - B. 189-194.
12. Dudin M.N. Katta va kichik biznesning o'zaro ta'sir qilish usullarini aniqlashga tizimli yondashuv // Evropa iqtisodiy tadqiqotlar jurnali. 2012. jild. (2), 2-son, 84-87-betlar.
13. Dudin M.N., Ljasnikov N.V., Kuznecov A.V., Fedorova I.Ju. Ijtimoiy-iqtisodiy tizimlarning innovatsion transformatsiyasi va transformatsion salohiyati // Yaqin Sharq ilmiy tadqiqot jurnali, 2013. jild. 17, No 10. P. 1434-1437.
14. Dudin M.N., Ljasnikov N.V., Pankov S.V., Sepiashvili E.N. Innovatsion bashorat biznes tuzilmalarining strategik barqaror rivojlanishini boshqarish usuli sifatida // Jahon amaliy fanlar jurnali. - 2013. - jild. 26, No 8. - B. 1086-1089.
15. Sekerin V. D., Avramenko S. A., Veselovskiy M. Ya., Aleksaxina V. G. B2G bozori: mohiyati va statistik tahlili // Jahon amaliy fanlar jurnali 31 (6): 1104-1108, 2014 yil Ishlab chiqarish jarayonining bir parametrli, stokastik modelini qurish
Ph.D. Dots. Mordasov Yu.P.
Mashinasozlik universiteti, 8-916-853-13-32, mordasov2001@mail. gi Izoh. Muallif bir parametrga qarab ishlab chiqarish jarayonining matematik, stoxastik modelini ishlab chiqqan. Model sinovdan o'tkazildi. Buning uchun tasodifiy buzilishlar-nosozliklar ta'sirini hisobga olgan holda ishlab chiqarish, mashinasozlik jarayonining simulyatsiya modeli yaratildi. Matematik va simulyatsiya modellashtirish natijalarini solishtirish matematik modelni amaliyotda qo'llash maqsadga muvofiqligini tasdiqlaydi.
Kalit so'zlar Kalit so'zlar: texnologik jarayon, matematik, simulyatsiya modeli, operativ boshqaruv, aprobatsiya, tasodifiy buzilishlar. Operatsion rejalashtirish xarajatlari va real ishlab chiqarish jarayonlarining rejalashtirilgan ko'rsatkichlari va ko'rsatkichlari o'rtasidagi nomuvofiqlik natijasida yuzaga keladigan yo'qotishlar o'rtasidagi optimallikni topishga imkon beruvchi metodologiyani ishlab chiqish orqali operativ boshqaruv xarajatlarini sezilarli darajada kamaytirish mumkin. Bu teskari aloqa zanjirida signalning optimal davomiyligini topishni anglatadi. Amalda, bu yig'ish birliklarini ishlab chiqarishga kiritish uchun kalendar jadvallarini hisoblash sonini qisqartirishni va buning natijasida moddiy resurslarni tejashni anglatadi. Mashinasozlikda ishlab chiqarish jarayonining borishi ehtimollik xarakteriga ega. Doimiy o'zgaruvchan omillarning doimiy ta'siri ma'lum bir istiqbolda (oy, chorak) ishlab chiqarish jarayonining makon va vaqtdagi borishini bashorat qilishga imkon bermaydi. Statistik rejalashtirish modellarida har bir muayyan vaqtdagi qismning holati uning turli ish joylarida bo'lish ehtimoli (ehtimollik taqsimoti) sifatida berilishi kerak. Biroq, korxonaning yakuniy natijasining determinizmini ta'minlash kerak. Bu, o'z navbatida, deterministik usullardan foydalangan holda, ishlab chiqarishda bo'lgan qismlar uchun ma'lum muddatlarni rejalashtirish imkoniyatini nazarda tutadi. Biroq, tajriba shuni ko'rsatadiki, real ishlab chiqarish jarayonlarining turli o'zaro aloqalari va o'zaro o'tishlari xilma-xil va ko'pdir. Deterministik modellarni ishlab chiqishda bu sezilarli qiyinchiliklarni keltirib chiqaradi. Ishlab chiqarish jarayoniga ta'sir qiluvchi barcha omillarni hisobga olishga urinish modelni noqulay qiladi va u rejalashtirish, hisobga olish va tartibga solish vositasi sifatida ishlashni to'xtatadi.
ga bog'liq bo'lgan murakkab real jarayonlarning matematik modellarini qurish uchun oddiyroq usul katta raqam hisobga olish qiyin yoki hatto imkonsiz bo'lgan turli omillar - stokastik modellarni qurish. Bunday holda, real tizimning ishlash tamoyillarini tahlil qilishda yoki uning individual xususiyatlarini kuzatishda ba'zi parametrlar uchun ehtimollik taqsimoti funktsiyalari quriladi. Jarayonning miqdoriy tavsiflarining yuqori statistik barqarorligi va ularning kichik dispersiyasi mavjud bo'lganda, tuzilgan model yordamida olingan natijalar real tizimning ishlashi bilan yaxshi mos keladi. Iqtisodiy jarayonlarning statistik modellarini yaratishning asosiy shartlari quyidagilardan iborat:
-Tegishli deterministik modelning haddan tashqari murakkabligi va u bilan bog'liq iqtisodiy samarasizligi;
-Modeldagi eksperiment natijasida olingan nazariy ko'rsatkichlarning haqiqatda ishlaydigan ob'ektlar ko'rsatkichlaridan katta og'ishlari.
Shuning uchun ishlab chiqarish jarayonining global xususiyatlariga (tijorat mahsuloti, tugallanmagan ishlab chiqarish hajmi va boshqalar) stokastik buzilishlarning ta'sirini tavsiflovchi oddiy matematik apparatga ega bo'lish maqsadga muvofiqdir. Ya'ni, kam sonli parametrlarga bog'liq bo'lgan va ishlab chiqarish jarayonining borishiga turli xarakterdagi ko'plab omillarning umumiy ta'sirini aks ettiruvchi ishlab chiqarish jarayonining matematik modelini qurish. asosiy vazifa, tadqiqotchi modelni qurishda o'zi belgilashi kerak, bu haqiqiy tizim parametrlarini passiv kuzatish emas, balki buzilishlar ta'sirida har qanday og'ish bilan ko'rsatilgan jarayonlarning parametrlarini keltirib chiqaradigan modelni qurish. berilgan rejimga. Ya'ni, har qanday tasodifiy omil ta'sirida tizimda rejalashtirilgan yechimga yaqinlashadigan jarayon o'rnatilishi kerak. Hozirgi vaqtda avtomatlashtirilgan boshqaruv tizimlarida bu funktsiya asosan ishlab chiqarish jarayonlarini boshqarishda teskari aloqa zanjirining bo'g'inlaridan biri bo'lgan shaxsga yuklangan.
Keling, haqiqiy ishlab chiqarish jarayonining tahliliga murojaat qilaylik. Odatda, rejalashtirish davrining davomiyligi (seminarlarga rejalar berish chastotasi) an'anaviy ravishda belgilangan kalendar vaqt oralig'i asosida tanlanadi: smena, kun, besh kun va boshqalar. Ular asosan amaliy mulohazalar asosida boshqariladi. Rejalashtirish davrining minimal davomiyligi rejalashtirilgan organlarning operatsion imkoniyatlari bilan belgilanadi. Agar korxonaning ishlab chiqarish-dispetcherlik bo'limi sexlarga to'g'rilangan smena topshiriqlarini berish bilan shug'ullansa, u holda hisob-kitob har bir smena uchun amalga oshiriladi (ya'ni, rejalashtirilgan ko'rsatkichlarni hisoblash va tahlil qilish bilan bog'liq xarajatlar har smenada amalga oshiriladi).Tasodifiy ehtimollik taqsimotining sonli xarakteristikalarini aniqlash Bir qator "Iqtisodiyot va boshqaruv" buzilishlari bitta yig'ish moslamasini ishlab chiqarishning haqiqiy texnologik jarayonining ehtimollik modelini yaratadi. Bu erda va bundan keyin yig'ish birligini ishlab chiqarishning texnologik jarayoni texnologiyada hujjatlashtirilgan operatsiyalar ketma-ketligini (ushbu qismlar yoki yig'malarni ishlab chiqarish bo'yicha ishlar) anglatadi. Texnologik marshrutga muvofiq mahsulot ishlab chiqarishning har bir texnologik operatsiyasi faqat oldingisidan keyin amalga oshirilishi mumkin. Binobarin, yig'ish agregatini ishlab chiqarishning texnologik jarayoni hodisalar-operatsiyalar ketma-ketligidir. Turli stokastik sabablar ta'sirida individual operatsiya davomiyligi o'zgarishi mumkin. IN individual holatlar ushbu smenali ishning davomiyligi davomida operatsiya tugamasligi mumkin. Ko'rinib turibdiki, bu hodisalarni elementar tarkibiy qismlarga ajratish mumkin: individual operatsiyalarning bajarilishi va bajarilmasligi, ularni bajarish va bajarmaslik ehtimoli bilan ham moslashtirish mumkin. Muayyan texnologik jarayon uchun K amallardan iborat ketma-ketlikni bajarish ehtimoli quyidagi formula bilan ifodalanishi mumkin:
PC5 \u003d k) \u003d (1-pk + 1) PG \u003d 1P1, (1)
Bu erda: P1 - alohida olingan 1-operatsiyani bajarish ehtimoli; r - texnologik jarayondagi tartibli operatsiya soni.
Ushbu formuladan ishlab chiqarishga kiritilgan mahsulotlar assortimenti va ma'lum bir rejalashtirish davrida bajarilishi kerak bo'lgan ishlar ro'yxati, shuningdek empirik tarzda aniqlanadigan ularning stokastik xususiyatlarini aniq rejalashtirish davrining stoxastik xususiyatlarini aniqlash uchun foydalanish mumkin. , ma'lum. Amalda faqat yuqori statistik xarakteristikaga ega bo'lgan ommaviy ishlab chiqarishning ayrim turlari sanab o'tilgan talablarni qondiradi. Bitta operatsiyani bajarish ehtimoli nafaqat tashqi omillarga, balki bajarilgan ishning o'ziga xos xususiyatiga va yig'ish birligining turiga ham bog'liq. Yuqoridagi formulaning parametrlarini aniqlash uchun, hatto nisbatan kichik yig'ish birliklari to'plamida, ishlab chiqarilgan mahsulotlar assortimentida kichik o'zgarishlar bo'lsa ham, katta miqdordagi eksperimental ma'lumotlar talab qilinadi, bu katta moddiy va tashkiliy xarajatlarni keltirib chiqaradi va bu usulni mahsulotlarning uzluksiz ishlab chiqarish ehtimolini aniqlash deyarli qo'llanilmaydi.
Keling, olingan modelni soddalashtirish imkoniyati uchun tadqiqotga topshiraylik. Tahlilning boshlang'ich qiymati mahsulot ishlab chiqarishning texnologik jarayonining bitta operatsiyasini muvaffaqiyatsiz bajarish ehtimoli hisoblanadi. Haqiqiy ishlab chiqarish sharoitida har bir turdagi operatsiyalarni bajarish ehtimoli har xil. Muayyan texnologik jarayon uchun bu ehtimollik quyidagilarga bog'liq:
Amalga oshirilgan operatsiya turidan;
Muayyan yig'ish birligidan;
Parallel ishlab chiqarilgan mahsulotlardan;
tashqi omillardan.
Bitta operatsiyani bajarish ehtimoli tebranishlarining ushbu model yordamida aniqlangan mahsulot ishlab chiqarish jarayonining jamlangan xususiyatlariga (tovar mahsuloti hajmi, tugallanmagan ishlab chiqarish hajmi va boshqalar) ta'sirini tahlil qilaylik. Tadqiqotning maqsadi - modelda bitta operatsiyani bajarishning turli xil ehtimolliklarini o'rtacha qiymatga almashtirish imkoniyatini tahlil qilish. O'rtacha texnologik jarayonning bitta operatsiyasini bajarishning o'rtacha geometrik ehtimolini hisoblashda ushbu omillarning barchasining birgalikdagi ta'siri hisobga olinadi. Zamonaviy ishlab chiqarish tahlili shuni ko'rsatadiki, u biroz o'zgarib turadi: amalda 0,9 - 1,0 oralig'ida. Bitta operatsiyani bajarish ehtimoli qanchalik pastligining aniq tasviri walkie-talkie 0,9 qiymatiga to'g'ri keladi, quyidagi mavhum misoldir. Aytaylik, o‘nta bo‘lak yasashimiz kerak. Ularning har birini ishlab chiqarishning texnologik jarayonlari o'nta operatsiyani o'z ichiga oladi. Har bir operatsiyani bajarish ehtimoli 0,9 ga teng. Turli xil texnologik jarayonlar uchun jadvaldan orqada qolish ehtimolini topamiz. tasodifiy hodisa, bu yig'ish moslamasini ishlab chiqarishning aniq texnologik jarayoni jadvaldan orqada qolishi, bu jarayonda kamida bitta operatsiyaning kam bajarilishiga to'g'ri keladi. Bu hodisaning teskarisi: barcha operatsiyalarni muvaffaqiyatsiz bajarish. Uning ehtimoli 1 - 0,910 = 0,65. Jadvaldagi kechikishlar mustaqil hodisalar bo'lganligi sababli, Bernulli ehtimollik taqsimoti turli xil jarayonlar uchun jadvalning kechikish ehtimolini aniqlash uchun ishlatilishi mumkin. Shunday qilib, ishlab chiqarish jarayonlarining stokastik xususiyatlarini aniqlash uchun bitta texnologik jarayonning operativ bajarilishi uchun ehtimollik taqsimotini qurish taklif etiladi, bu yig'ish moslamasini ishlab chiqarish bo'yicha texnologik operatsiyalar ketma-ketligini bajarish ehtimolini geometrik o'rtacha ehtimollik orqali ifodalaydi. bitta operatsiyani bajarish. Bu holda K operatsiyalarni bajarish ehtimoli har bir operatsiyani bajarish ehtimolini texnologik jarayonning qolgan qismini bajarmaslik ehtimoliga ko'paytirilishiga teng bo'ladi, bu esa (K + T) bajarmaslik ehtimoliga to'g'ri keladi. )-chi operatsiya. Bu fakt shu bilan izohlanadiki, agar biron bir operatsiya bajarilmasa, unda quyidagi amallarni bajarib bo'lmaydi. Oxirgi yozuv qolganlardan farq qiladi, chunki u ehtimollikni ifodalaydi to'liq o'tish butun jarayonni buzmasdan. Texnologik jarayonning birinchi operatsiyalarining K ni bajarish ehtimoli qolgan operatsiyalarni bajarmaslik ehtimoli bilan yagona bog'liqdir. Shunday qilib, ehtimollik taqsimoti quyidagi shaklga ega:
PY=0)=p°(1-p),
R(§=1) = r1(1-r), (2)
P(^=1) = p1(1-p),
P(t=u-1) = pn"1(1 - p), P(t=n) = pn,
qayerda: ^ - tasodifiy qiymat, bajarilgan operatsiyalar soni;
p - bitta operatsiyani bajarishning o'rtacha geometrik ehtimolligi, n - texnologik jarayondagi operatsiyalar soni.
Olingan bir parametrli ehtimollik taqsimotini qo'llashning to'g'riligi quyidagi fikrlashdan intuitiv ravishda ko'rinadi. Faraz qilaylik, biz n ta elementdan iborat namunada bitta 1 amalni bajarish ehtimolining geometrik o‘rtacha qiymatini hisoblab chiqdik, bunda n yetarlicha katta.
p = USHT7P7= tl|n]t=1p!), (3)
bu yerda: Iy - bajarilish ehtimoli bir xil bo'lgan operatsiyalar soni; ] - bajarilish ehtimoli bir xil bo'lgan operatsiyalar guruhining indeksi; m - bajarilish ehtimoli bir xil bo'lgan operatsiyalardan iborat guruhlar soni;
^ = - - bajarilish ehtimoli p^ bilan operatsiyalarning yuzaga kelishining nisbiy chastotasi.
Katta sonlar qonuniga ko'ra, cheksiz miqdordagi operatsiyalar bilan, ma'lum bir stokastik xususiyatlarga ega bo'lgan operatsiyalar ketma-ketligida sodir bo'lishning nisbiy chastotasi ushbu hodisaning ehtimoliga moyil bo'ladi. Bundan kelib chiqadi
ikkita etarlicha katta namuna uchun = , keyin:
bu erda: t1, t2 - mos ravishda birinchi va ikkinchi namunalardagi guruhlar soni;
1*, I2 - mos ravishda birinchi va ikkinchi namunalar guruhidagi elementlar soni.
Bundan ko'rinib turibdiki, agar parametr ko'p sonli testlar uchun hisoblansa, u holda bu juda katta namuna uchun hisoblangan P parametriga yaqin bo'ladi.
Turli xil jarayon bosqichlarini bajarish ehtimolining haqiqiy qiymatiga turlicha yaqinligiga e'tibor qaratish lozim. Tarqatishning barcha elementlarida, oxirgisidan tashqari, omil (I - P) mavjud. P parametrining qiymati 0,9 - 1,0 oralig'ida bo'lganligi sababli, omil (I - P) 0 - 0,1 oralig'ida o'zgarib turadi. Bu multiplikator asl modeldagi multiplikatorga (I - p;) mos keladi. Tajriba shuni ko'rsatadiki, ma'lum bir ehtimollik uchun bu yozishmalar 300% gacha xatoga olib kelishi mumkin. Biroq, amalda, odatda, har qanday miqdordagi operatsiyalarni bajarish ehtimoli emas, balki texnologik jarayonning nosozliklarisiz to'liq bajarilishi ehtimoli qiziqtiradi. Bu ehtimollik omilni (I - P) o'z ichiga olmaydi va shuning uchun uning haqiqiy qiymatdan og'ishi kichik (amalda 3% dan ko'p emas). Iqtisodiy vazifalar uchun bu juda yuqori aniqlik.
Shu tarzda tuzilgan tasodifiy o'zgaruvchining ehtimollik taqsimoti yig'ish birligini ishlab chiqarish jarayonining stokastik dinamik modelidir. Vaqt unda bir operatsiyaning davomiyligi sifatida bevosita ishtirok etadi. Model ma'lum vaqtdan keyin (mos keladigan operatsiyalar soni) yig'ish moslamasini ishlab chiqarish jarayoni to'xtatilmasligi ehtimolini aniqlashga imkon beradi. Mashinasozlik ishlab chiqarishining mexanik yig'ish sexlari uchun bitta texnologik jarayonning o'rtacha soni ancha katta (15 - 80). Agar biz ushbu raqamni asosiy raqam deb hisoblasak va o'rtacha bitta yig'ish moslamasini ishlab chiqarishda kattalashtirilgan ishlarning kichik to'plami (tornalik, chilangar, frezalash va boshqalar) qo'llaniladi deb hisoblasak, keyin olingan taqsimotdan ishlab chiqarish jarayonining borishiga stokastik buzilishlarning ta'sirini baholash uchun muvaffaqiyatli ishlatilishi mumkin. Muallif ushbu printsip asosida qurilgan simulyatsiya tajribasini o'tkazdi. 0,9 - 1,0 oralig'ida bir tekis taqsimlangan psevdo-tasodifiy o'zgaruvchilar ketma-ketligini yaratish uchun psevdo-tasodifiy sonlar generatori qo'llanildi. Dasturiy ta'minot tajriba COBOL algoritmik tilida yozilgan.