Тической физики Метод вращений (Якоби) для нахождения собственных значений и собственных векторов матриц

ГОУ ВПО «Магнитогорский государственный университет»
Кафедра прикладной математики и вычислительной техники
КУРСОВАЯ РАБОТА
по дисциплине Уравнения математической физики
Метод вращений (Якоби) для нахождения собственных значений и собственных векторов матриц
Выполнила студентка 37 гр., ФМФ
Харина М.Н.
Научный руководитель: Торшина О. А.

Магнитогорск, 2010

Содержание

якоби вращение вектор матрица

1. 
   Введение
   
2. 
   Основные определения
   

2.1 Определения собственного значения и собственного вектора матрицы. Пример нахождения собственных значений и собственных векторов матрицы
2.2. Некоторые свойства собственных значений векторов
2.3 Системы линейных алгебраических уравнений
3. Методы решения систем линейных алгебраических уравнений
3.1 Метод Зейделя
3.2 Метод верхних релаксаций
3.3 Метод Якоби
4. Программа на C++ для решения СЛАУ методом Якоби
5. Заключение
6. Список использованной литературы
1. Введение

Численные методы являются одним из мощных математических средств решения задачи. Простейшие численные методы мы используем всюду, например, извлекая квадратный корень на листке бумаги.

Системы линейных алгебраических уравнений возникают как промежуточный или окончательный этап при решении ряда прикладных задач, описываемых дифференциальными, интегральными или системами нелинейных (трансцендентных) уравнений. Они могут появляться как этап в задачах математического программирования, статистической обработки данных, аппроксимации функций, при дискретизации краевых дифференциальных задач методом конечных разностей, методом конечных элементов, проекционными методами, в методе граничных элементов, дискретных особенностей, панельном методе аэродинамической компоновки летательного аппарата и т.д.

Матрицы возникающих систем могут иметь различные структуры и свойства. Уже сейчас имеется потребность в решении систем линейных алгебраических уравнений с матрицами полного заполнения порядка нескольких тысяч. При решении ряда прикладных задач методом конечных элементов в ряде случаев появляются системы, обладающие симметричными положительно определёнными ленточными матрицами порядка несколько десятков тысяч с половиной ширины ленты до тысячи. И, наконец, при использовании в ряде задач метода конечных разностей необходимо решить системы разностных уравнений с разрежёнными матрицами порядка миллион.
Одним из самых распространенных методов решения систем линейных уравнений является метод вращений Якоби. Этот метод (который также называют методом простых итераций) известен в различных вариантах уже более 200 лет.