Va avtokorrelyatsiya Corr(X(t), X(t k))

Masala 17.3
Tahlilchi stokastik investitsiya modelini o'rnatdi va parametrlarga ega foiz stavkasi komponenti uchun Vasichek modelidan foydalanadi:
α = 0.10
µ = 0.05
σ = 0.02
Simulyatsiyalardan birida prognoz qilingan qisqa stavka prognoz qilinayotgan 1 yildagi 0,08 dan 2-yilda 0,07 ga o'zgaradi. Ikki yillik simulyatsiya qilingan umumiy daromadni hisoblang.
kupon obligatsiyalari prognoz 1 yilda "chiqarilgan" va "sotib olingan" va prognoz 2 yilda "sotilgan". Kupon nominal birlik uchun 0,1 ni tashkil qiladi va har yili davr oxirida to'lanadi.


Javob
loyiha yili 1 2
qisqa tikish 0.08 0.07
obligatsiyalar narxi P × (1.3) 7^(2.3)
Kupon obligatsiyalari nominal qiymatining t vaqtidagi birlik narxini P*(t, 3) deb belgilaymiz. Yilning umumiy daromadi quyidagi formula bo'yicha aniqlanadi:

Agar prognoz T yilida muddati tugaydigan nol kuponli obligatsiya birligi narxini P(t, T) bilan belgilasak, u holda
P × (2, 3) = 1.1P(2, 3)
va P × (l,3) = 0.1P(l,2) + 1.1P(1,3)
va P(l,3) = A(l,3)e^{–B(1, 3)0.08}
P(l,2) = A(l,2)e^{–B(1, 2)0.08}
P(2, 3) = A(2,3)e^{–B(2, 3)0.07}
Shunday qilib P(l, 2) = 0.9245
P(l, 3) = 0.8573
P(2, 3) = 0.9334
P × (2, 3) = 1.0267
P × (l, 3) = 1.0355
R= 1.0916,
ya'ni yillik 9,16% samarali daromadlilik darajasi.
Foiz stavkasi modelining ikkinchi misoli Hull-White modelidir. Bu arbitrajsiz modelga misol. Vasichek modeli arbitrajga ruxsat bermasa-da, uning soddaligi odatda joriy vaqt oralig'iga "mos kelmaydi" degan ma'noni anglatadi. Boshqacha qilib aytganda, Vasichek modeli kelajakda nazariy jihatdan izchil rentabellik egri chizig'ini bashorat qilish uchun ishlatilishi mumkin bo'lsa-da, u boshlang'ich pozitsiyasiga to'liq mos kela olmaydi. Hull-White modeli Vasichek modelining umumlashtirilishi sifatida talqin qilinishi mumkin, bu nozik dastlabki moslashish imkonini beradi. Heath, Jarrow and Morton (1992) ushbu turdagi modellar uchun to'liqroq asosni taklif qiladi.
Hull-White modelidagi qisqa muddatli jarayon avvalgidek bir xil belgidan foydalanib, quyidagicha berilgan:
R(t + Δt) – r(t) = [θ(t) – αr(t)Δt + σΔtZ(t)
va



bu yerda P(0, t) muddati t bo'lgan nol kuponli obligatsiyaning joriy (moment 0) birlik narxini bildiradi. Ushbu narxlarni odatda moliyaviy matbuotda topish yoki e'lon qilingan obligatsiyalar narxlaridan olish mumkin. Qisman lotin log P(0, t)/ t oddiygina nol kuponli obligatsiya bilan bog'liq bo'lgan uzluksiz qo'shilgan daromadning salbiy qiymatidir.