Vektorlar algebrasi

Elektromagnit maydon uchun ta’sir integrali. Nisbiylik nazariyasida erkin zarracha uchun ta’sir integrali 5-ma’ruza (7) ifoda bilan aniqlanadi. Zarrachalar sistemasi uchun unu quyidagi ko’rinishda yozamiz: . (1) Bitta zaryadlangan zarrachaning elektromagnit maydon bilan ta’sirini aniqlovchi 7-ma’ruza (3) ifoda bilan aniqlanadi. Bu ifodani zaryadlar sistemasi uchun yozamiz: . (2) Bu ikkala ifodada yig’indi ko’rilayotgan sohadagi barcha zaryadlar bo’yicha olinadi. Qulaylik uchun zaryadlarning tartib raqamini ko’rsatuvchi indekslar yozilmasi. (2) ifodani uzluksiz taqsimlangan zaryadlar uchun yozamiz. Bunda oldingi mavzu nati-jalaridan foydalanamiz: (3) yoki 4-tok zichligi orqali quyidagi ko’rinishda yozish mumkin: = (4) Bu yerda = dV cdt - 4-o’lchovli hajm elementi. Zaryad va maydondan tashkil topgan sistemani to’liq aniqlash uchun quyidagi ikki ta’sir integraliga maydonni aniqlovchi ta’sir integrali ni qo’shish kerak, ya’ni S = . (5) Maydon uchun ta’sir integralini umumiy prinsiplar asosida yozamiz. Birinchidan, ta’sir integrali ostidagi kattalik faqat elektromagnit maydonga tegishli bo’lib, maydonni yagona tarzda aniqlanishi, ikkinchidan, maydon uchun yozilgan tenglamalarning chiziqliligini ta’minlashi va nihoyat u invariant bo’lishi kerak. Bularning har birini alohida va shu bilan birga bir-biriga bog’liq holda ko’rib chiqamiz. Agar ta’sir integralini yozishda maydon potensiallari bevosita ishtirok etsa, turli kalibrovka bilan aniqlangan potensiallar orqali yozilgan ta’sir integrali turlicha bo’lib, maydonni yagona tarzda aniqlamaydi. Bunga asosan ta’sir integrali ifodasida faqat elektromagnit maydon kuchlanganliklari ishtirok etadi. Elektromagnit maydonni aniqlovchi tenglamalarning chiziqli bo’lishi, elektromagnit maydon superpozitsiya prinsipiga bo’ysunishini ta’minlab beradi. Bu prinsipga ko’ra, zaryadlar sistemasi hosil qilayotgan maydon, alohida olingan zaryadlar hosil qilayotgan maydonlar yig’indisiga teng bo’lishi kerak: E = E₁ + E₂ + + E_N = , H = H₁ + H₂ + + H_N = . Agar zaryadlar uzluksiz taqsimlangan bo’lsa, yig’indi integral bilan almashtiriladi. Bu prinsip o’rinli bo’lishi, maydonni aniqlovchi tenglamalar c h i z i q l i bo’lishini ta’minlab beradi. Haqiqatan ham matematikadan ma’lumki, chiziqli differensial tenglamalarning o’zaro bog’liq bo’lmagan yechimlarining yig’indisi yana shu tenglamaning yechimi bo’ladi. Bu qoida fizikadagi superpozitsiya prinsipining aynan o’zidir. Maydon uchun tenglamalar ta’sir integralini variatsiyalash yo’li bilan olinadi. Bunda variatsiyalanayotgan o’zgaruvchining darajasi bittaga kamayadi. Demak, ta’sir integralida maydon kuchlanganliklarining ikkinchi darajalari ishtirok etishi lozim.