Viii bob. Taqqoslamalar §. Taqqoslamalar va ularning xossalari



Download 203 Kb.
bet1/4
Sana11.04.2022
Hajmi203 Kb.
#542365
  1   2   3   4
Bog'liq
shohsanam



VIII BOB. TAQQOSLAMALAR

  1. - §. Taqqoslamalar va ularning xossalari

Bizga a va b butun sonlar va qandaydir m natural son berilgan bo‘lsin.

    1. tarif. Agar a va b sonlarini m ga bo‘lgandagi qoldiqlari teng bo‘lsa, a va b sonlar m modul bo‘yicha taqqoslanuvchi deyiladi va a = b(mod m) shaklda yoziladi.

Masalan, a = 22 va b = 27 sonlari m = 5 modul bo‘yicha taqqoslanadi, ya’ni 22 = 27(mod5).

    1. xossa. a va b sonlari m modul bo‘yicha taqqoslanuvchi bo‘lishi uchun a — b soni m ga bo‘linishi zarur va yetarli.

Isbot. Haqiqatdan, a va b sonlarni m ga qoldiqli bo‘lsak, a = m • q + r, b = mq2 + r, 0 < r < m — 1 munosabatlarni hosil qilamiz. Bu yerdan a — b = m(q — q) ekanligi kelib chiqadi, ya’ni a — b soni m ga bo‘linadi.
Demak, a va b sonlarining m modul bo‘yicha taqqoslanuv- chanligi a = b + m • t ekanligiga teng kuchlidir. Bundan esa quyidagi xossaning o‘rinli ekanligi bevosita kelib chiqadi.

    1. xossa. Agar a = b(mod m) va b = c(mod m) bo‘lsa, u holda a = c(mod m).

Endi taqqoslamaning asosiy xossalarini keltiramiz.

    1. xossa. Bir hil modulli taqqoslamalarni hadma-had qo‘shish mumkin, ya’ni a = b(mod m) va c = d (mod m) bo‘lsa,

a + c = b + d (mod m).
Isbot. Aytaylik, a = b(modm) va c = d(modm) bo‘lsin. U holda a — b va c — d sonlari m ga bo‘linadi.
(a + c) — (b + d) = (a — b) + (c — d) ekanligidan (a + c) — (b + d) sonining m ga bo‘linishi kelib chiqadi, demak, a + c = b + d (mod m).



    1. xossa. Bir xil modulli taqqoslamalami hadma-had ko‘paytirish mumkin, ya’ni a = b(modm) va c = d(modm) bo‘lsa,

a ■ c = b ■ d(modm).
Isbot.
Haqiqatdan, a - b va c - d sonlari m ga bo‘linishidan, ac -bd = (a - b)c + b(c - d) sonining ham m ga bo‘linishi kelib chiqadi. Demak, a ■ c = b ■ d(modm).

    1. xossa. Taqqoslamaning xar bir hadini va modulini bir hil songa ko‘paytirish mumkin, ya’ni a = b(mod m) bo‘lsa, a ■ к = b ■ к (mod m ■ к) bo‘ladi.

Isbot. a = b(mod m) ekanligidan a = b + m ■ t tenglikni hosil qilamiz. Bu tenglikni ikkala tomonini к ga ko‘paytirsak, a ■ к = b ■ к + m ■ к ■ t kelib chiqadi, ya’ni a ■ к = b ■ к (mod m ■ к).

    1. xossa. Taqqoslamaning har bir hadini va modulini bir hil songa bo‘lish mumkin.

Isbot. Aytaylik, a = b(modm) bo‘lib, a = a ■ d, b = b ■ d va m = m ■ d bo‘lsin. U holda a = b + m ■ t tenglikdan a ■ d=b ■ d+m ■ d ■ t,
a = b + m ■ t
hosil bo‘ladi, ya’ni a = b (mod m).

    1. xossa. Agar a va b sonlari m, m, . ., m modullar bo‘yicha taqqoslanivchi bo‘lsa, u holda a va b bu sonlarning eng kichik umumiy karralisi bo‘yicha taqqoslanuvchi bo‘ladi.

Isbot. a = b(modщ), a = b(modm2), ._, a = b(modmk) ekanli­gidan a - b sonining щ , щ,..., щ larning barchasiga bo‘linishi kelib chiqadi. Demak, ularning eng kichik umumiy karralisiga ham bo‘linadi. □

    1. xossa. Agar a va b sonlari m modul bo‘yicha taqqosla­nuvchi bo‘lsa, u holda ular m ning ixtiyoriy bo‘luvchisi bo‘yicha taqqoslanuvchi bo‘ladi.

257

Isbot. a = b + m • t ekanligidan m = щ • q shartni qanoatlanti- ruvchi m soni uchun a = b + щ (q • t) kelib chiqadi, demak a = b(mod щ ).

    1. xossa. Agar taqqoslamaning bitta hadi va moduli biror songa bo‘linsa, u holda taqqoslamaning ikkinchi hadi ham shu songa bo‘linadi.

Isbot. Aytaylik a = b + m • t bo‘lib, a = a • d, m = щ • d bo‘lsin. U holda b = a • d — щ • d • t ekanligidan b sonining ham d ga bo‘linishini hosil qilamiz.

    1. xossa. Agar a = b(modm) bo‘lsa, u holda (a,m) = (b,m) bo‘ladi.

Isbot. a = b + m • t ekanligidan a ning (b,m) ga bo‘linishi kelib chiqadi. a va m sonlarining EKUBini ularning chiziqli ifodasi orqali ifodalasak,
au + mv = (a, m)
tenglikdan, hamda a va m sonlari (b,m) ga bo‘linishidan (a,m) ning (b,m) ga bo‘linishi kelib chiqadi, ya’ni (b,m) | (a,m). Shunga o‘xshab, (a,m) | (b,m) munosabat ham ko‘rsatiladi, demak (a,m) = (b, m).
Berilgan m soniga karrali bo‘lgan butun sonlar to‘plamini тЪ orqali belgilaymiz, ya’ni
rriL = -2m, —m, 0, m, 2m,
Butun sonlar to‘plamida quyidagicha R binar munosabat aniqlaymiz. Agar a va b sonlari uchun a-b^mL bo‘lsa, (a,b)eR deb qabul qilamiz. Boshqacha aytganda, m modul bo‘yicha taqqoslanuvchi sonlar jufti binar munosabatga tegishli bo‘ladi.

    1. teorema. Z to‘plamda m modul bo‘yidia kiritilgan binar munosabat ekvivalentlik munosabati bo‘ladi.

Isbot. Teoremani isbotlash uchun ekvivalentlikning uchta shartini o‘rinli bo‘lishini ko‘rsatamiz:


  1. a = a(modm), chunki a - a = 0 soni m ga bo‘linadi, demak (a, a) e R.

  2. agar a = b(modm) bo‘lsa, u holda a -b son m ga bo‘linadi. Bundan esa, b - a = -(a - b) soni ham m ga bo‘linishi, ya’ni b = a(modm) ekanligi kelib chiqadi. Demak, agar (a,b) e R dan (b,a) e R kelib chiqadi.

  3. agar a = b(modm) va b = c(modm) bo‘lsa, u holda a - b va b - c sonlar m ga bo‘linadi, a - c = (a -b) + (b - c) son ham m ga bo‘lingani uchun a = c(modm) kelib chiqadi. Demak, (a,b) e R va (b,c) e R ekanligidan (a,c) e R kelib chiqadi.

Ma’lumki, xar qanday ekvivalentlik munosabati berilgan to‘plamni kesishmaydigan sinflarga ajratadi. Yuqorida aniqlangan ekvivalentlik munosabati bo‘yicha hosil qilingan sinflarga chegirmalar sinflari deyiladi.

  1. teoremaga asosan, a - b ayirma m ga bo‘linsa, a va b sonlarni m ga bo‘lgandagi qoldiqlari teng bo‘ladi, demak, m modul bo‘yicha aniqlangan chegirmalar sinfi m ga bo‘linganda bir hil qoldiq qoladigan butun sonlardan iborat bo‘ladi. Butun sonni m ga bo‘lgandagi qoldiqlar 0,1,..., m -1 sonlaridan biriga teng bo‘lishini hisobga olsak, m modul bo‘yicha aniqlangan chegirmalar m ta sinfdan tashkil topadi. Demak, biz quyidagi sinflarga ega bo‘lamiz:

  1. = {..., -2m, -m, 0, m, 2m,...},

1 = {..., -m +1,1, m +1,...},
9
m -1 = {..., -2m -1, -1, m-1,2m-1,...}.
Ta’kidlash joizki, m modul bo‘yicha chegirmalar sinflarining ta’rifidan a = b(moAm) munosabat a = b munosabatga teng kuchlidir.

  1. teoremaga asosan, Ъ to‘plamnining m modul bo‘yicha turli chegirmalar sinfi faktor to‘plamning elementlari bo‘ladi, ushbu faktor to‘plam Zra kabi belgilanadi, ya’ni

259



Zm={o, 1}.
Yuqorida keltirilgan xossalar Zra faktor to‘plamda qo‘shish va ko‘paytirish amalarini kiritishga imkon beradi, ya’ni a. b
e 71,m elementlarning yig‘indisi va ko‘paytmasini quyidagicha aniqlaymiz:
a + b := a + b, a ■ b : = a ■ b.
Bu aniqlangan qo‘shish va ko‘paytirish amallari binar algebraik amallar bo‘ladi. Haqiqatdan ham, 37.4 va 37.5-xossalarga asosan, a + b yig‘indi va a ■ b ko‘paytmalar a va b elementlarning tanlanishiga bog‘liq emas.
Quyidagi jadvalda Z6 = {0,1, 2, 3, 4, 5} to‘plamda qo‘shish va ko‘paytirish amallari jadvallarini keltiramiz:

+

0

1

2

3

4

5

0

0

1

2

3

4

5

1

1

2

3

4

5

0

2

2

3

4

5

0

1

3

3

4

5

0

1

2

4

4

5

0

1

2

3

5

5

0

1

2

3

4




0

1

2

3

4

5

0

0

0

0

0

0

0

1

0

1

2

3

4

5

2

0

2

4

0

2

4

3

0

3

0

3

0

3

4

0

4

2

0

4

2

5

0

5

4

3

2

1

Ravshanki, Zra to‘plamda aniqlangan qo‘shish va ko‘paytirish amallari kommutativlik, assotsiativlik va distributivlik qonunlariga bo‘ysunadi, ya’ni


  1. Download 203 Kb.

    Do'stlaringiz bilan baham:
  1   2   3   4




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©www.hozir.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling

kiriting | ro'yxatdan o'tish
    Bosh sahifa
юртда тантана
Боғда битган
Бугун юртда
Эшитганлар жилманглар
Эшитмадим деманглар
битган бодомлар
Yangiariq tumani
qitish marakazi
Raqamli texnologiyalar
ilishida muhokamadan
tasdiqqa tavsiya
tavsiya etilgan
iqtisodiyot kafedrasi
steiermarkischen landesregierung
asarlaringizni yuboring
o'zingizning asarlaringizni
Iltimos faqat
faqat o'zingizning
steierm rkischen
landesregierung fachabteilung
rkischen landesregierung
hamshira loyihasi
loyihasi mavsum
faolyatining oqibatlari
asosiy adabiyotlar
fakulteti ahborot
ahborot havfsizligi
havfsizligi kafedrasi
fanidan bo’yicha
fakulteti iqtisodiyot
boshqaruv fakulteti
chiqarishda boshqaruv
ishlab chiqarishda
iqtisodiyot fakultet
multiservis tarmoqlari
fanidan asosiy
Uzbek fanidan
mavzulari potok
asosidagi multiservis
'aliyyil a'ziym
billahil 'aliyyil
illaa billahil
quvvata illaa
falah' deganida
Kompyuter savodxonligi
bo’yicha mustaqil
'alal falah'
Hayya 'alal
'alas soloh
Hayya 'alas
mavsum boyicha


yuklab olish