Волновое уравнение Телеграфное уравнение Малые поперечные колебания струны

= l, с учетом, что С3 = 0 :
Последнее равенство выполняется для всех t > 0, если С4sinll = 0. Предположим, что С4 ≠ 0. Иначе, когда С3 = = С4 = 0 мы получаем тривиальное решение U(x, y) = 0.
Следовательно,
или ll = np, где n = ±1, ±2, … .
n = 0 исключили, т.к. в этом случае получили бы тривиальное решение. Из последнего соотношения получим
n = ±1, ±2, … .
Итак, решение при граничных условиях примет вид для n = ±1, ±2, … :
Постоянные и найдем из начальных условий, при t = 0:
Для каждого значения n получим свое значение решения. Суммируя решения при всех значениях n, вновь получим решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее условиям:
Соотношение можно рассматривать как разложение в ряд Фурье нечетной на [-l, l] периодической функции f(x) с коэффициентами разложения A, определяемыми, как известно из теории рядов Фурье, соотношением
Определим производную по t для решения
Подставим t = 0 и получим начальное условие в виде
Это соотношение будем рассматривать как разложение в ряд Фурье нечетной на [-l, l] периодической функции j (x) с коэффициентами разложения
Тогда
Отметим важные физические особенности изучаемого явления. Объединяя оба члена, перепишем решение в виде
Видим, что полное колебание струны слагается из ряда отдельных колебаний вида
Участвующие в таком элементарном колебании точки струны все колеблются с одной и той же частотой или с одним и тем же периодом, которому отвечает тон определенной высоты. Амплитуда колебания каждой точки зависит от ее положения; она равна
1
3
4
2
На рис. изображены последовательные положения струны для случаев n = 1, 2, 3, 4. Точки, отделяющие один участок от другого, находятся в покое; это так называемые узлы. Середины участков (пучности) колеблются с наибольшей амплитудой. Описанное явление носит название