1. avtonom sistemalar 1-ta’rif

3-teorema. Aytaylik, vektor-funksiya (1) sistemaning intervalda aniqlangan biror yechimi bo‘lsin. Agar , va bo‘lsa, u holda shu yechimni intervalga davom ettirish mumkin.

Isbot. 1-teoremaga ko‘ra, bo‘lgani uchun , funksiya ham yechim bo‘ladi va , ayniyat o‘rinli. Bu ayniyatdan funksiya intervalda aniqlangani uchun funksiya intervalda aniqlangan bo‘ladi. Haqiqatan ham tengsizlikdan bo‘lganda va demak, yechimni dan chapga miqdorga davom ettirish mumkin, shunga o‘xshash, bo‘lganda , ya’ni yechimni dan o‘ngga miqdorga davom ettirish mumkin bo‘ladi. Har ikki holni birlashtirib yechimni intervalga davom ettirish mumkinligini qayd qilamiz. Shu intervalda aniqlangan yechim uchun ayniyat o‘rinli. desak, u holda , ya’ni bundan xuddi avvalgidek ekaniligi kelib chiqadi. funksiya intervalda aniqlangan bo‘lgani uchun oxirgi ayniyatdan foydalanib, mavjudlik intervalini yanada kengaytirish mumkin. Boshqacha aytganda, intervalda aniqlangan yechimni qurish mumkin. Bu yechimni deb belgilaymiz. Shunga o‘xshash, mavjudlik intervalini dan iborat bo‘lgan yechimni qurish mumkin.

Yuqoridagi tengsizlikda da limitga o‘tsak, interval hosil bo‘ladi ( va lar qanday bo‘lishidan qat’iy nazar). Shu intervalda aniqlangan yechimni deymiz. Ammo isbot davomida avtonom sistemaning har qanday trayektoriyasi chekli vaqtda cheksizga ketib qolmasligidan foydalanildi.■

4-teorema. Agar (1) sistema tekislikdagi sohada berilgan bo‘lib, vektor maydon holat tezliklari, potensialli bo‘lsa, u holda (1) sistema sohada yopiq trayektoriyaga ega bo‘lmaydi.

Isbot. Teskarisini faraz qilaylik. Aytaylik (1) avtonom sistema sohada yopiq trayektoriyaga ega bo‘lsin. Holat tezliklar maydoni potensiali bo‘lgani uchun ushbu

tenglik o‘rinli bo‘ladi ( da yo‘nalish soat strelkasiga qarshi). Ikkinchi tomondan, bo‘lsa, va (1) tenglamani ko‘rinishda yozib olamiz. Bu yerda (1) sistemaning davrli yechimi bo‘lib, -yopiq trayektoriyani aniqlaydi. Shuning uchun

ziddiyat kelib chiqadi.■

3-ta’rif. Quyidagi

1) akslantirish sohani sohaga o‘zaro bir qiymatli akslantiradi;

2) Ushbu , va , vektor-funksiya mos ravishda va sohalarda uzluksiz differensiallanuvchi;

3) Ushbu munosabat o‘rinli

,

Shartlarni qanoatlantiruvchi akslantirishga sohada silliq teskarilanuvchi akslantirish deyiladi.

5-teorema. Aytaylik (1) sistemadagi vektor-funksiya sohada uzluksiz differensiallanuvchi bo‘lib, nuqtada bo‘lsin. U holda nuqtaning atrofi va shunday teskarilanuvchi almashtirish mavjud bo‘lib, shu atrofda (1) sistema

ko‘rinishni oladi. Bundan tashqari (1) sistemaning trayektoriyalari atrofda tog‘ri chiziq kesmalariga o‘tadi. Bunda o‘zgarmas sonlar.