13 ma’ruza. G‘alayonlanish nazariyasi usullari

13 ma’ruza.
G‘alayonlanish nazariyasi usullari.

1.Diskret spektrlarda g‘alayonlanish nazariyasi.

2.Vaqtga bog‘liq bo‘lmagan g‘alayonlanishlar.
3.Vaqtga bog‘liq bo‘lgan g‘alayonlanishlar.
4.SHtarkning chiziqli effekti.
1.Diskret spektrlarda g‘alayonlanish nazariyasi.
Bizga ma’lumki, SHryodenger tenglamasi juda kam sondagi masalalarda aniq echimga ega. Masalan: chiziqli garmonik ossillyatorning tebranishi masalasida va vodorod atomi masalalarida aniq echimga ega bo‘lishi mumkin. Qolgan masalalarda ma’lum cheklanishlar qilib, ba’zi kichik, ahamiyatsiz deb hisoblangan parametrlarni hisobga olmasdan, masalani soddalashtiramiz. Mikrosistemalar va zarralar sistemasining to‘lqin funksiyalarini yoki energiyalarini hisoblashda kvant mexanikasida turli taqribiy usullardan foydalanamiz. SHunday usullardan biri g‘alayonlanish(quzg‘alish) nazariyasi usullari hisoblanadi.
Bu usulning mohiyati shundaki, ko‘p hollarda masala echilganda tenglama tarkibida turli xil o‘zgaruvchilar (fizik kattaliklar) ishtirok etadi. Bular ichida masalaning umumiy echimiga katta ta’sir etmaydigan, juda kichik kattaliklar tashlab ketilsa, tenglama ancha soddalashadi. Biz qarab chiqmoqchi bulgan usulda birinchi navbatda soddalashtirilgan masalaning aniq echimiga kelinadi. Keyin esa, soddalashtirish paytida tashlab ketilgan, hisobga olinmagan kichik kattaliklarning aniq echimni tuldiradigan tuzatmasi topiladi.
Qo‘zg‘alish nazariyasi kvant mexanikasining rivojiga katta hissa qushgan, ko‘plab masalalarni echishda muhim rol o‘ynagan asosiy hisoblash usuli sanaladi. Qaralayotgan sistemada parametrlarning vaqtga bog‘liq yoki bog‘liq bo‘lmagan o‘zgarishlariga qarab, ko‘zg‘alish nazariyasi statsionar yoki nostatsionar nazariyalarga bo‘linadi. Har ikkala holda ham qo‘zg‘alish nazariyasi beradigan tuzatmalarni hisoblaymiz.

2.Vaqtga bog‘liq bo‘lmagan(statsionar holatlar uchun) g‘alayonlanishlar.
Faraz qilaylik, aniq echimga ega bulmagan sistema uchun SHryodenger tenglamasi qo‘ydagi ko‘rinishda bo‘lsin:
(13.1)
Statsionar holat uchun bu tenglama qo‘ydagicha buladi:
(13.2)
Demak, va - g‘alayonlashmagan(quzg‘almagan) va g‘alayonlashgan (quzg‘algan) sistemalar uchun Gamelton operatori. Bu operatorlar bir – biri bilan qo‘ydagicha bog‘langan:
(13.3)
Bu erda -quzg‘atuvchi operator deyiladi. Agar bo‘lsa, sistema qo‘zg‘almagan holda bo‘ladi, ya’ni (13.1) (13.2) ga aylanadi va echimi mavjud bo‘lgan tenglamaga aylanadi. Agar (13.3) ni (13.1) ga qo‘ysak,qo‘ydagiga ega bo‘lamiz:
(13.4)
(13.4)ni echish uchun (13.1) dagi - funksiyani -operatorining xususiy funksiyasi bo‘lgan bo‘yicha qatorga yoyib yozamiz.
(13.5)
Endi (13.5) ni (13.4) ga qo‘yamiz va qo‘ydagi tenglamaga ega bo‘lamiz.
(13.6)
(13.6)ning ikkala tomonini ga ko‘paytirib, “x” o‘qi bo‘yicha integrallaymiz:
(13.7)
(13.7)dagi xususiy funksiyalarning ortogonalligini ya’ni

(13.8)
hisobga olsak, qo‘ydagi belgilashni kiritamiz:
(13.9)
tenglamaga ega bo‘lamiz. Bu erda W qo‘ydagiga teng:
(13.10)
W-qo‘zg‘alish operatorining matritsa elementlari. (13.9) tenglama “E” energiya tasavvuridagi SHryodenger tenglamasi, ya’ni (13.1) tenglama hisoblanadi. Agar (13.9) ga quzg‘alish nazariyasi metodini qullaydigan bo‘lsak, avvalo W ni ning birinchi tartibli kichik ketma-ketlik deb hisolab, (13.9) dagi E_n va C_n larni ketma-ket yaqinlashuvchi kattaliklar yig‘indisi sifatida yozamiz:
E_n=E⁰ + E¹ + E² + …..
C_n=C⁰ + C¹ + C² + ….. (13.11)
Bu erda 0, 1, 2, ...lar yaqinlashuv tartibini ko‘rsatadi va 1-chi, 2-chi ... k-chi tartibdagi kichik kattaliklar hisoblanadi. (13.11)dagi E va Slarning qiymatini (13.9) ga qo‘yish orqali birinchi yaqinlashuvda ko‘ydagiga ega bo‘lamiz:
(13.12)
Agar k=m bo‘lsa (13.12)dagi
ekanligini topamiz.
U holda
(13.13)
YA’ni E⁰ ga 1-chi yaqinlashuvdagi tuzatma operatorining quzg‘almagan holat funksiyalari bo‘yicha olingan matritsaning diagnal elementlari mos kelganligini ko‘ramiz. Agar k m bo‘lsa,
(13.14)
bundan
(13.15)
ekanligini topamiz. U holda (13.9) ning birinchi yaqinlashuvdagi echimi qo‘ydagicha buladi:
(13.16)

(13.16) dagi tenglamalar birinchi tartibdagi tenglamalar hisoblanadi. Qolgan barchasi tartib jihatidan kichik, ya’ni
(13.17)
Endi qo‘ydagi tengsizlikning urinli ekanligini ko‘ramiz:

(13.17) tengsizlik barcha masalalarni echishda quzg‘alish nazariyasining qo‘llanilishi chegaralanganligini ko‘rsatadi.
Ushbu qarab chiqilgan holat energetik sathlarda aynish mavjud bo‘lmagan hol uchun to‘g‘ri. Qachonki energetik sathlar bir nechta kichik sathchalardan iborat bo‘lsa, vaziyat sal boshqacha bo‘ladi. Agar energetik sathlarda aynish mavjud bo‘lsa, ya’ni ikki yoki undan ortiq energetik sathlar bir xil energiyaga ega bo‘lsa, u holda SHryodenger tenglamasidagi to‘lqin funksiyasi va uning xususiy qiymatlari murakkab ko‘rinish oladi. Unda energiyaning har bir qiymatiga mos keluvchi algebraik tenglamalar sistemasiga ega bo‘lamiz. Noldan farqli echimga ega bo‘lish uchun, uning koeffetsentlaridan tashkil topgan matritsa nolga teng bo‘lishi kerak. Bu erda birinchi darajali algebraik tenglama paydo bo‘lib, u bitta ildizga ega bo‘ladi:
(13.18)
Demak, aynish mavjud bo‘lganda har bir energetik sath bir-biriga yaqin joylashgan sathchalarga bo‘linadi.