Аналитическая геометрия на плоскости

Практическая часть 1.
Прямая на плоскости
Пример 1. Дана прямая . Выписать ее вектор нормали, найти угловой коэффициент, построить прямую на плоскости.
Решение. Счравнивая уравнение данной прямой с общим уравнением прямой, замечаем, что в нашем случае А=2 (коэффициент при х), В=1 (коэффициент при у), поэтому . Чтобы найти угловой коэффициент, исходное уравнение необходимо разрешить относительно у:
.
Сравнивая с уравнением прямой с угловым коэффициентом, замечаем, что .
Для построения прямой необходимо знать координаты двух точек, через которые пролходит прямая: . Итак, остается провести прямую, проходящую через точки .

Пример 2. Выбрать из прямых (I)-(VI) параллельные и перпендикулярные:

1. 
   ; (II) ; (III) ;
   

(IV) ; (V) ; (VI) .
Решение. Сначала для каждой прямой найдем угловой коэффициент:

1. 
   ;
   
2. 
   ;
   
3. 
   ;
   
4. 
   ;
   
5. 
   ;
   
6. 
   .
   

Поскольку , получаем, что прямые (I) и (III), (II) и (IV) параллельны.
С другой стороны, , а потому прямые (I) и (II) перпендикулярны (следовательно, перпендикулярны и прямые (III) и (II),(I) и (V) .
Пример 3. Составить уравнение прямой, проходящей через точку и образующей с положительным направлением оси Ох угол 120.
Решение. .
Координаты точки известны, а угловой коэффициент k – это тангенс угла наклона, т.е. . Подставляя, имеем , или .
Пример 4. Составить уравнения прямых, проходящих через точку параллельно и перпендикулярно прямой .
Решение: Найдем угловой коэффициент данной прямой: . Поэтому . Для составления уравнения прямой, проходящей через параллельно данной прямой, воспользуемя уравнением :
или .
Результат можно проверить, подставив в полученное выражение координаты заданной точки: (если получили тождество, как в данном примере, уравнение составлено правильно).
Аналогично действуем при составлении уравнения перпендикулярной прямой, только используем , и окончательно .
Пример 5. Написать уравнение прямой, проходящей через точки .
Решение: .
Подставляя координаты данных точек, получаем
.
Таким образом, мы приходим к уравнению .
Проверить результат можно, подставляя в него координаты точек (как в проверке в примере 4).
Действительно, .
Пример 6. Дано общее уравнение прямой .Требуется написать различные типы уравнений этой прямой.
Решение: Уравнение этой прямой в отрезках или .
Уравнение этой прямой с угловым коэффициентом: .
Пример 7. Прямая отсекает на координатных осях равные положительные отрезки. Составить уравнение прямой, если площадь треугольника, образованного этими отрезками равна 4 см².
Решение: Уравнение прямой имеет вид , где По условию задачи откуда . Значение не удовлетворяет условию задачи. Тогда искомое уравнение прямой или .
Пример 8. Через точку провести прямую под углом 45 к прямой