Chebeshev tengsizligi Chebeshev teoremasi Bernulli teoremasi

Markov tengsizligi . Agar tasodifiy miqdorining matematik kutilmasi mavjud bo’lsa, ixtiyoriy va uchun
(1)
o’rinli bo’ladi.
Isbot: 1) Faraz qilaylik diskret tasodifiy miqdor bo’lsin. Ya’ni tasodifiy miqdor qiymatlarni ehtimolliklar bilan qabul qilsin ( ).
U holda
.
2) Endi faraz qilaylik uzluksiz tasodif miqdor zichlik funksiyasiga ega bo’lgan uzluksiz tasodifiy miqdor bo’lsin.
U holda

.

1. 
   tengsizlik isbotlandi.
   

va hodisalar teng kuchli bo’lganligi uchun ularning ehtimolliklari teng bo’ladi, va
.
ni bilan almashtiramiz, u holda

Demak,
(2)
Bu tengsizlikka Chebeshev tengsizligi deyiladi.
Agar (2) ga deb olsak, u holda

bo’ladi.
Agar normal taqsimotga ega bo’lsa, u holda

bajarilishiga ishonch hosil qilish mumkin.
Bunga -qoidasi deb ham ataladi.
Natija: Agar tasodif miqdorining dispyerstiyasi mavjud bo’lsa, ixtiyoriy uchun
. (3)
(3) ga ham Chebishev tengsizligi deyiladi.
Isboti:
va
o’zaro qarama-qarshi hodisalar bo’lganliklari uchun

va (2) ga asosan

Bizga tasodifiy miqdorlar ketma-ketligi berilgan bo’lsin, ketma-ketlikni tuzib olamiz.
Tafsif: sonlar ketma-ketligi mavjud bo’lib,

o’rinli bo’lsa, tasodifiy miqdorlari ketma-ketligi katta sonlar qonuniga bo’ysunadi deyiladi.
Amaliyotda ko’p hollarda

deb olinadi.
Teorema (Katta sonlar qonuni haqidagi Chebishev teoremasi). Faraz qilaylik juft-jufti bilan bog’lanmagan tasodifiy miqdorlar bo’lib, ularning dispyerstiyalari tekis chegaralangan bo’lsin, ya’ni , ,
U holda tasodifiy miqdorlar ketma-ketligi katta sonlar qonuniga bo’ysunadi, ya’ni ixtiyoriy uchun

bo’ladi.