Laboratoriya ishi №5 puasson tenglamasi uchun dirixle masalasini chekli ayirmalar usuli bilan yechish

2. To`g`ri to`rtburchakda Dirixle ayirmali masalasi [2]
tomonlari l<sub>1</sub> i l<sub>2</sub> bo`lgan to`g`ri to`rtburchak bo`lsin, G – uning chegarasi. da Puasson tenglamasi uchun Dirixle masalasini qaraymiz:
. (5)
da va qadamlar bilan to`rni quramiz, bu erda N<sub>1</sub>>0 va N<sub>2</sub>>0 - butun sonlar. Buning uchun ikki to`g`ri chiziqlar oilasini quramiz. Bu to`g`ri chiziqlarning i₁h₁ va i₂h₂ koordinatalardagi kesishish nuqtasini x=(i₁h₁, i₂h₂) tugun deb ataymiz.

To`g`ri to`rtburchak chegarasida yotuvchi tugun (i<sub>1</sub>=0,N<sub>1</sub> yoki i<sub>2</sub>=0,N<sub>2</sub> bo`lganda), quyidagi to`rtta (0,0), (0,l<sub>1</sub>), (0,l<sub>2</sub>), (l<sub>1</sub>,l<sub>2</sub>) nuqtadan tashqari nuqtalarni chegaraviy tugunlar deb ataymiz. Ular to`plamni tashkil qiladi. Barcha ichki va chegaraviy tugunlar to`plamini to`r deb ataymiz.
Har bir ichki tugunda besh nuqtali «xoch» regulyar shablonni qurish mumkin, bunda =1, 2 tugunlar (ya`ni, yoki , yoki ) da yotadi. SHuning uchun u Laplas operatorini barcha ichki tugunlarda

ayirmali operator bilan almashtirish mumkin.
(1') masalaga mos keluvchi ayirmali Dirixle masalasini qo`yamiz: ichki tugunlarda ( da)
(6)
tenglamani qanoatlantiruvchi da aniklangan va <sub>h</sub> chegarada
y(x) = (x) , x<sub>h</sub> . (7)
qiymatlari berilgan u(x) to`r funktsiyani topish kerak.
(6), (7) indeksli yozuvi quyidagicha bo`ladi
(8)
,
bu yerda , - (x) funksiyaning to`g`ri to`rtburchak tomonlaridagi qiymatlari, .
(8) tenglama y_ij larning chegaraviy tugunlardagi qiymatlari bilan u(x,y)ning x_ij to`r tugun nuqtalaridagi taqribiy qiymatlariga nisbatan chiziqlli algebraik tenglamalar sistemasini tashkil etadi. Bu sistema h<sub>1</sub> = h<sub>2</sub> shartda ancha soda ko`rinishni oladi:
(9)
(9) ayirmali tenglamani hosil qilishda “xoch” shablondan foydalanildi, u quyidagi tgunlarni o`z ichiga oladi (i, j), (i1, j), (i, j1).
(9) sistema Gauss-Zeydel usuli bilan, quyidagicha iteratsiyalar hosil qilib yechish mumkin
(10)
bu yerda s – iteratsiya raqami. s bo`lganda ketma-ketlik u_ij Aniq yechimga yaqinlashadi. Iteratsiya jarayoni tugash sharti sifatida quyidagini olish mumkin
(11)
bu yerda  - qabul qilingan aniqlik.
Iteratsiyalar soni dastlabki yaqinlashish ni tanlab olishga bog`liq.
ni tanlashning ikkita usulini ko`ramiz [3]:
1) ning ichki tugunlardagi qiymatlari ma`lum chegadagi qiymatlardan foydalangan holda interpolyatsiyalanib topiladi;

2. 
   Katta qadamli chekli ayirmali tenglamalar sistemasi tuziladi va u isklyucheniya metodi bilan yechilib, olingan natijalarni interpolyatsiyalab berilgan to`r tugunlaridagi qiymatlar aniqlanadi.