|
Teorema3: Kasr chiziqli akslantirishlar tizimi kompozitsiyasiga nisbatan gruppa tashkil qiladi.
Izoh: guruppa kommutativ emas, masalan
9.Geometrik xossalari.
Kasr chiziqli akslantirishning ikkita elementar geometrik xossasini keltiramiz. 1-o’zgarishni shakllantirish uchun biz dagi aylanani murakkab tekislikdagi istalgan doira yoki chiziq deb ataymiz. To’g’ri ma’noda doiralar dagi doiralar deb ataladi.
Teorema1: Kasr chiziqli akslantirish dagi aylanani dagi aylanaga o’zaro bir qiymatli akslantiriladi. (kasr chiziqli akslantirishning doiraviy xossasi)
da chiziqli funksiya bo’ladi va unda o’rinli.
, nuqta ga akslantiradi.
da
(1)
Bularni quyidagi uchta akslantirishning kompozitsiyasi ko’rinishida yozamiz.
, ,
va akslantirish da aylanani saqlaydi.
Buni ko’rsatish uchun quyidagi akslantirish
dagi har qanday aylana tenglamasi quyidagicha yoziladi:
(3)
Bu tenglama to’g’ri chiziqni yoki aylanani ifodalaydi.
Agar bo’lsa,
to’gri chiziq tenglamasi kelib chiqadi.
Agar bo’lsa,
bo’lganda aylanani ifodalaydi.
Endi ,
, ni (3) ga qo’yib
(4)
Agar (4)ga (2)ni qo’llasak
yoki, bo’ladi.
Bundan ko’rinadiki (4) va (5)ni solishtirsak, (5) ham tekislikda aylana yoki to’g’ri chiziq bo’ladi.
Kasr chiziqli akslantirishning 2-geometrik xossasi:
Ta’rif: aylana markazidan chiqib bitta nurda yotuvchi va nuqtalardan aylana markazigacha bo’lgan masofalar ko’paytmasi aylanalar radiusining kvadiratiga teng bo’lsa, va nuqtalar aylanaga nisbatan simmetrik nuqtalar deyiladi. Ya’ni
va
Bu rengsizliklarni quyidagi ko’rinishda
Yozsak ham o’rinli.
Chizmada simmetrik nuqtalarni yasash usulari:
Agar nuqta aylana ichida yotsa nuqtadan nurga perpendikulyar o’tkazamiz. aylanadagi nuqta bilan kesishguncha nuqtadan gacha urinma o’tkazamiz.
(*) berilgan va nuqtalarning aylanaga nisbatan simmetrik bo’lishi uchun shu va nuqtalar orqali o’tuvchi har qanday aylananing aylanaga ortogonal bo’lishi zarur va yetarlidir.
Zaruriyligi: va nuqtalar aylanaga nisbatan simmetrik bo’lsa, -ular orqali o’tuvchi ixtiyoriy aylana bo’lsa, u holda
bo’lishi elementar geometriyadan kelib chiqadi.
va aylanalar ortogonol
Yetarliligi: va nuqtalardan o’tuvchi har qanday aylana aylanaga ortogonal bo’lsin. Bu aylana va nuqtalardan o’tuvchi to’g’ri chiziq bo’lishi ham mumkin. Unda to’g’ri chiziq aylanaga ortogonal bo’lishi uchun u nuqtadan o’tadi. Bundan
Demak, va nuqta aylanaga nisbatan simmetrik bo’ladi.
(*) xossa simmetrik nuqtalarning ta’rifini dagi aylanaga qo’llash imkoniyatini beradi.
va orqali o’tuvchi to’g’ri chiziq har qanday aylana ortogonal bo’lsa, va nuqtalar dagi aylanaga nisbatan simmetrik nuqtalar deyiladi.
(6) dan dagi aylanaga nisbatan inversiya kasr chiziqli funksiyaga qo’shilgan funksiya tomonidan amalgam oshiriladi. Yuqoridagi 2-teormaga ko’ra inversiya ning hamma joyida antikonformal akslantirishdir.
To’g’ri chiziqqa nisbatan inversiya uchun bu tasdiq o’rinli:
Siljitish va aylantirish orqali biz to’g’ri chiziqni haqiqiy o’qqa aylantiramiz, so’ngra inversiya akslantirishgacha kamayadi.
Teorema2: kasr chiziqli akslantirish dagi va nuqtalarni dagi aylanaga nisbatan simmetrik bo’lgan va nuqtalarga akslantiradi.
va orqali o’tuvchi aylanani olamiz. va nuqtalar aylanaga nisbatan simmetrik nuqtalar bo’lganligi uchun va aylanalar ortogonal. Kasr chiziqli akslantirish konform bo’lganligi sababli va aylanalar ortogonal bo’ladi. Demak, va nuqtalar ga nisbatan simmetrikdir.
Kasr chiziqli izomorfizm va avtomorfizm
Kasr chiziqli akslantirish formulasi
4 ta kompleks koeffisentlarni o’z ichiga oladi. Biroq akslantirish aslida 3 ta parametrga bog’liq, chunki kasrning surat va maxraji nolga teng bo’lmagan koeffitsientlardan biriga bo’lish mumkin.
Shu sababli kasr chiziqli akslantirishdan foydalanib, berilgan 3 ta nuqtani berilgan 3 ta nuqtaga akslantirish mumkin:
Teorema1: dagi berilgan turli 3 ta nuqtalarni da berilgan turli nuqtalarga o’tkazuvchi kasr chiziqli akslantirish mavjud va yagonadir. , .
fazoda golomorf akslantirish
soha va akslantirish berilgan bo’lsin, ya’ni
Agar ning barcha komponentalari da golomorf bo’lsa, akslantirish golomorf akslantirish deyiladi.
Misollar:
1) ), , =2, =2
2) , , , ,
3) ), , ,
Agar =1 bo’lganda, ya’ni bo’lsa, u holda -golomorf chiziq deyiladi.
Agar nuqtaning atrofida golomorf akslantirish bo’lsa, u holda vektor uchun yetarlicha kichik larda quyidagi o’rinli bo’ladi:
(1)
-chiziqli akslantirish
(2)
Bu yerda -Yakobi matritsasi, -esa ustun vektori.
U holda akslantirish nuqtada differensial akslantirish deyiladi.
Agar ning rangi (matritsa rangi- matritsaning noldan farqli minorlari eng kattasining tartibi) maksimal bo’lsa, ya’ni min( ) ga teng bo’lsa, nuqta kritik bo’lmagan nuqta deyiladi.
Xususan, , ya’ni kvadrat matritsa uchun determinant
(3)
bo’lsa, unga nuqtada akslantirishning yakobiani deyiladi.
kritik bo’lmagan nuqta va .
Misollar:
1)
2)
3) )
4)
5)
6)
7)
Antikamutativ va , assotsiativlik va distributivlik xususiyatiga ega bo’lgan va skalyar ko’paytmadan farq qiluvchi tashqi ko’paytmadan foydalanamiz.
Bu xossalardan golomorf akslantirish uchun
(4)
da ko’rib chiqamiz:
,
-
va xuddi shunga o’xshash
(5)
da no’ramiz
,
Agar , lar uchun
(4) va (5) tengsizliklarni tashqi ko’paytma yordamida ko’paytirsak
o’rinli bo’ladi.
ta haqiqiy differensiallarning va larning nisbati obraz va proobrazlarning ya’ni akslantirishning yakobianiga teng.
Do'stlaringiz bilan baham: |
