Xususiy mexanik tebranishlar

MAShQ YECHISh NAMUNALARI


1-masala.
Nuqta garmonik tebranma xarakat qilmoqda. Maksimal siljishi va tezligi mos ravishda A=0.05 m va v_max=0.12 m/s ga teng. Maksimal tezlanish topilsin va siljish y=0.03 m ga teng bo‘lgan momentda nuqtaning tezlik va tezlanishi topilsin.

ECHISh. Garmonik tebranishlarning siljish tenglamasi

,
bunda A - tebranishlarning maksimal siljishi, yoki amplitudasi, ωt+φ - tebranishlar fazasi. Mashqning shartida boshlang‘ich faza haqida ma`lumot berilmagan, shuning uchun A=0 da φ=0 teng deb olamiz.
, (1)
nuqtaning oniy tezligi shu funksiyadan vaqt bo‘yicha olingan birinchi tartibli hosilaga teng
, (2)
bunda ωA= _max - tezlikni maksimal qiymati. Nuqtaning oniy tezlanishi berilgan siljish funksiyadan vaqt bo‘yicha olingan ikkinchi tartibli hosilaga tengdir.
, (3)
bunda ω²A=a_max tezlanishning maksimal qiymati. _max va a_max -larni (2) va (3) tenglamalarni solishtirib
(4)
ekanini topamiz. Agar nuqtaning t vaqt momentidagi ko‘chishi berilgan bo‘lsa, (4) tenglamadan topib (3) tenglamaga qo‘ysak tezlanishni oniy qiymatini topamiz.
(5)
va (2) tenglamadan tezlikni oniy qiymatini topamiz
. (6)
(4), (5) va (6) tenglamalarga berilgan sonlarni qo‘yib hisoblaymiz.
,

2-masala.
Nuqta tenglamalari x=2sint va y= -cost bo‘lgan o‘zaro perpendikulyar tebranishlarda ishtirok etadi. Nuqtani traektoriyasi va tenglamasini toping. t=0.5 s bo‘lganda nuqtaning tezligi topilsin (siljish santimetrlarda berilgan).

ECHISh. Qo‘shiluvchi tebranishlarning siklik chastotalari bir xil bo‘lganligi uchun nuqtaning xarakat traektoriyasi ellips bo‘ladi. Tenglamalardan t-ni yo‘qotamiz, buning uchun har ikki tomonni kvadratga ko‘taramiz: х²=4sin²t va sin²α+cos²α=1 ekanligidan foydalanib:

.
Bu qlari a=2 sm va b=1 sm ga teng bo‘lgan ellips tenglamasi. Nuqtaning xarakat yo‘nalishini topamiz: t=0 da x=0, y=-1, t ortishi bilan nuqtani x koordinatasini ortishiga olib keladi, demak nuqta soat strelkasiga teskari xarakat qiladi. Nuqtaning ellips bo‘ylab xarakat tezligi tezliklarini vektor yig‘indisiga teng, tebranishlar o‘zaro perpendikulyar bo‘lsa ,
, , ,
.