Zaruriy elementlardan tashkil topgan chizqli sistemalarning turg'unligini tahlil qilish Reja: I. Kirish II. Asosiy qism

a1 a3 a5 a¹ a³va hokazo.
₁ a₁; ₂ ;₃ a₀ a₂ a₁ a0 a2
0 a₁ a₃
Gurvits aniqlovchisining umumiy kо’rinishi esa:
a1 a3 a5 a7 0 a0 a2 a4 a6 0
_n 0 a₁ a₃ a₅ 0
0 a₀ a₂ a₄ 0
0 a_n
Gurvits mezoni asosida eng soda sistemalar turg’unligining quyidagi shartlari kelib chiqadi:

1. 
   agar birinchi va ikkinchi tartibli sistemalarda xarakteristik tenglamaning barcha koeffitsiyentlari musbat bо’lsa, bu sistemalar turg’un bо’ladi;
   
2. 
   agar uchinchi tartibli sistemada xarakteristik tenglamaning barcha koeffitsiyentlari musbat bо’lib, a1a2>a0a3bо’lsa, sistema turg’un bо’ladi;
   
3. 
   agar xarakteristik tenglamaning barcha koeffitsiyentlari musbat bо’lib, a1a2a3 >a0a32a4a12 bо’lsa, tо’rtinchi tartibli sistema turg’un hisoblanadi.
   

Gurvits mezonidan foydalanilganda ₁ dan _n gacha barcha aniqlovchilarni hisoblashning keragi yо’q. Masalan, uchinchi tartibli sistemaning turg’unligini aniqlash kerak bо’lsa, uchta aniqlovchidan birini topishning о’zi kifoY. a₄ va a₅ koeffitsiyentlar ₃ aniqlovchida nolga teng:
a1 a3
₂ a₁a₂ a₀a₃ .
a0 a2
Agar ₂ aniqlovchi musbat bо’lsa, ₃ aniqlovchi ham musbat bо’ladi. ₃=a₃₂>
0, chunki a₃> 0. ₁ aniqlovchi esa ma‘lum(₁= a₁) va musbat (chunki a₁>0). Algebraik mezon beshinchi tartibdan oshmaydi va u kechikishsiz chiziqli sistemalar uchun ancha qulay.
Turg’unlikning chastotaviy mezonlari
Yopiq sistemaning xaqiqiy koeffitsiyentli n-darajali xarakteristik tenglamasini kо’rib chiqamiz.
D(p) a₀pⁿ a₁p^n1 ...a_n1pa₀  0 (3)
Bu yerda p₁, p₂,…, p_n -xarakteristik tenglama ildizlari.
Ildizlarning kompleks tekisligida har bir ildizga ma‘lum bir nuqta, agar ildizlar bog’langan bо’lsa ikki nuqta mos keladi (4-rasm).

12.3-rasm. Ildizlarning kompleks tekisligi.

Nazariy jihatdan har bir p_i ildiz koordinatalar boshidan p_i nuqtaga о’tkazilgan vektor kо’rinishida tasvirlanadi. Bu vektor uzunligi kompleks sonning moduliga p_i teng. Haqiqiy о’qning musbat yо’nalishi va vektor orasida hosil bо’lgan burchak kompleks sonning p_i argumenti yoki fazasiga arg p_i teng.
Kompleks о’zgaruvchi tekisligida ildiz holatining о’zgarishi argument arg о’zgarishiga olib keladi.
Xarakteristik tenglama D(p)  0 ga p  ini qо’yib vektor argumenti о’zgarishini olamiz D(i) – argD(i) .
Agar xarakteristik tenglamaning barcha ildizlari mavhum о’qdan chapda joylashgan bо’lsa, Lyapunov teoremasiga kо’ra sistema turg’un bо’ladi. Chastota () о’zgarsa D(i) vektor musbat, ya‘ni soat о’qiga teskari yо’nalishda buriladi. Chastota -∞ dan ∞gacha о’zgarganda vektor о’zgarishi
argD(i) quyidagiga teng bо’ladi  n_. Bu yerda n- D(p)  0xarakteristik
0
tenglama darajasi va u tenglama ildizlari sonini aniqlaydi. n_- esa argument