Ўзбекистон республикаси олий ва ўрта махсус таълим вазирлиги фарғона давлат университети

Matematika rivojlanishining uchinchi davri.

O’zgaruvchilar miqdorlar matematikasi.

XVII asr boshiga kelib algebra, trigonometriya, geometriya hamda hisoblashning turli usullari shu darajada ko’p ma’lumot to’pladiki, bular fan va texnikaning ilmiy rivojiga zamin tayyorlaydi. Matematikaning metodlari tabiiy fanlarga jadal ravishda kirib bordi. Jumladan 1609-1619 yillarda Kapler tomonidan planetalar harakatining qonunini uning echilishi va uni matematik formulalarni berilishi, 1632-1638 yillarda Galiley tomonidan jismning matematik ifodalanish, 1686- yilda Nyuton tomonidan butun olam tortishish qonuning ochilish va matematik ifodasini berilishi va boshqa ko’plab faktlar tabiat qonunlarini matematik tilida bayon etishga olib keldi. Matematik metodlarning universalligi shu davr olimlarining butun fikrini band qildi. Yakka holda ishlagan olimlar o’rniga ilmiy jamiyatlar kela boshladi. 1662 yili London qirollik jamiyati, 1666 yili parij akademiyasi va boshqalar 1665 yili Londonda va Parijda, 1682 yilda Leyitsigda davriy ravishda jurnallar chiqa boshladi

Xullas XVII asrda matematika fani shu darajada tarmoqlani ketdiki, xozirgi zamon fani boshlanishi shu yerdan boshlandi.

Dekart vaFerma asarlarida analitik geometriya-geometrik ob’ektlarning o’lchovi, shakli va xossalari sonlar munosabatlar orqali ifodalash shakllandi, koordinatalar metodining shakllanishi.1665-1666 yillarda N. Nyuton insholarida “Flyuksiyalar nazariyasi” nomi bilan differentsial va integral hisobi, 1682-1686 yillarda Leybnitsning differentsial hisobi e’lon qilindi. Matematik analiz paydo bo’lish bilan mexanika va fizika masalalari deferentsial tenglamalar yordamida yozila boshladi. Funksional analizning boshlang’ich formasi-variatsion hisobi shakllana boshladi.

1604 yili Kepler Egrilik radiusi formulasini, 1673 yili evolyuta va evolventaning matematik ifodasini Gyuygens berdi.

J Dezarg (1593-1662), B Paskal (1623-1662) asarlarida perspektiva va prektiv geometriya shakllandi. Y Bernulli (1654-1705) asarlarida extimollar nazariyasi shakllandi. Nihoyat elementar matematikaning belgilari va logarifni kashf etilishi bo’ldi.

Yuqoridagi faktlarning hali to’la bo’lmagan ro’yxati shuni ko’rsatadiki, matematikaga differentsial va integral hisobining kirib kelishi, xhrakat tushunchasini kirib kelishi, uni dialektik nuqtai nazardan kurashga olib kelishi, bularning hammasi matematikaga Dekartning o’zgaruvchi miqdorlari paydo bo’lishi bilan asoslanadi. Bularning hammasi matematikadan sifat o’zgarishi bilan birga uning mazmunini o’zgarishiga olib keldi.

Endi ana shu fakt bilan batafsil tanishaylik.

R.Dekart (1596-1650, fransiya) matematikada tub burulish yasagan “Metod haqida muloxazalar” (1637- yil) asarning avtori, diniy kollejni bitirdi. Birinchi navbatda ong va qatiy deduksiyaning tan oluvchi ratsional fikirlari bilan hamda materiolistik dunyo qarash bilan katolik dini aqidlariga qarshi chiqadi. Natichada 1629-yili Nederlandiyaga ketadi. Bu yerda krotestantlar bilan chiqisha olmay 1649-yili Shvesiyaga keladi.

R.Dekartning matematika haqidagi fikri quyidagicha: “Materiyaning tabiati,uning uch xil xossalari-bo’linishligi va xarakatlanuvchiligi-dir.Materiyaning ana shu xossalari matematikadan aks etishi kerak. U universal fan bo’lib, tartib va o’lchov bilan bog’lik hamma narsani o’z ichiga olishi kerak.

Matematikaning butun tarkibi yagona pozitsiyada qaramog’i va yagona metod asosida o’rganilmog’i lozim; fanning nomi esa ana shu umumiylikda aks etmog’i kerak”deydi. Shunga ko’ra u matematikani ,,uneversal matematika” deb nomlaydi.

Manu shu fikrlarni u 1637-yilda elon qilgan “Metod haqida mulahazalar” asarida amalgam oshiradi. Bu bu bo’limni asosiga qo’yidagi ikki fikr:

1. O’zgaruvchi miqdorni kiritish;

2.Koordinata o’qini kiritilishi qo’yilgan.

O’zgaruvchi miqdorni u 2 xil ko’rinishda ishlatadi :

a) Egri chiziq bo’ylab harakat qiluvchi nuqtaniing koordinatasi ko’rinishida;

b) Koordinatasi kesmasining nuqtalariga mos keluvchi sonli to’plamning o’zgaruvchi elementi sifatida qaraydi.

Bu bilan Dekart o’z zamonasigacha bo’lgan olimlarning bir yoqlama chegaralanganliklarini bartaraf etadi. Endi unda lar kesmalar sifatida qaraydi. Algebraic tenglamalar – sonlar orasidagi munosabatni ifodalovchi vosita bo’ldi – bu matematikani abstraktlashuviga tomon katta qadam bo’ladi.

Aynan mana shu faktlar algebraik chiziqlarni talqin etishni umulashuviga va sharqning algoritmik uslubini qabul qilinishiga olib keldi.

Dekartning algebrik belgilari hozirgi zamon belgilaridan unchalik farq etmaydi.

Masalan (faqat daraja hali yo’q edi)

Har qanday tenglama ko’rinishida bo’lib, tartiblangan butun koefisientlik ko’phad. ni x-a ga bo’linishidan a-tenglamaning ildizi deb qaraydi va haqiqiy (musbat) , yolg’on (manfiy) va hisobga oladi. Musbat manfiy ildizlarni aniqlash uchun Dekart qoidasi va umuman tenglamalar nazaryasi bayon etilgan.

Koordinata o’qini quydagicha kiritadi:

Kordinata to’g’ri chizig’ida biirlik kesmani kiritish va 4 –chi proparsional kesmani yasash (hozirgi usulni o’zi) bilan kesmalarni ko’paytirish va bo’lish masalasini hal qiladi. Natijada algebraik ildizlarning geometrik obrazlari 1,2,. . . o’rta proparsionallarning yasalishiga keltiriladi.

Yuqorida aytib o’tildiki Dekartning “Geometriya” asri XII asr matematikasida tub burilish yasydi va bundan keyigi rivoji uchun zamin yaratadi. Bu asar algebra yutuqlarini geometriyaga tatbiq etuvchi fan, ya’ni analitik geometriyadan dastlabki asar bo’ldi. Shu asar mazmujni bilan tanishaylik. Asar 3-kitobdan iborat bo’lib, 1-si “ faqat doira va to’g’ri chiziqdan foydalanib yasaladigan masalalar haqida “ kitobida o’zgaruvchi miqdorlar va koordinatalar to’g’ri chizig’i kiritishining umumiy prinsiplari berilgandan so’ng geometric chiziqlqrning tenglamasini tuzishning qoidalari beriladi, ya’ni: biron-bir masalani echishdan oldnin uni echilgan deb qabul qilib, berilganlarni va izlagan chiziqlarni birday harf bilan belgilab, so’ngra bularni hech bir farqlamay orasidagi bo’g’l;anishni aniqlash natijasida 2 ifodani topish kerak; bularni bir-biriga tenglash natijasida masalani echilishini beradigan tenglamaga ega bo’linadi deyiladi. Sirkul va chizg’ich yordamida echiladigan barcha geometric masalar darajasi 2 dan katta bo’lmagan algebrik tenglamalarni echishga keltiriladi.

Analitik geometriyaning qoidalarini Dekart umumiy ko’rinishda batafsil bayon etmaydi, balki masalalar bilan bayon etadi.

Asarning 2-chi kitobi “ Egri chiziqlarning tabiati haqida “ bo’lib, bunda turli tartibdagi egri chiziqlar va ularnio klassifikatsiyalash hamda xossalariga bag’ishlangan. Barcha egri chiziql;arni Dekart 2 sinfga ajratadi.

1-chisi uzluksiz harakat natijasida yoki ketma-ket bajariladigan harakatlar natijasida (sirkul; va chizg’ich yordamida) hosil bo’ladigan chiziqlar.

Qolgan (2-chi) chiziqlarni mexanik chiziqlar ( keyinchlik buni Leybinis bularni transstendent deb ataydi) deb ataydi.

Shunga ko’ra algebraic chiziqlar qandaydir sharnirli maxanizmlar yordamida yasalishi mumkun deydi va ular algebrik tenglamalar yordamida ifodalaniladi deyiladi (isbotsiz).

Kitobning sosiy qismi algebraik chiziqlarga urinma va normal o’tkazishga oid teoremalarga bag’ishlangan.

Asarning 3-kitobi algebraning hamda geometrik o’rinlar ma’lumotlardan foydalanib tenglamalarning echishning umumiy nazariyasiga bag’ishlangan.

Jumladan: koeffitsientlar qatoida ishora almashinishi qancha takrorlansa –shunga qarab manfiy ildizga ekanligi ko’rsatadi. Ildizlarni o’zgartirishni taminlovchi almashtirishlarini kiritadi.

Eng muhim yutig’dan yana biri ratsional koefisientli butun ratsional funksiyani yana shunday funksiyalar ko’paytmasi ko’rinishida tasvirlash masalasini hal qilishdadir.

Jumladan 3- darajali keltirilgan tenglama kvadrat radikallarda (sirkul va chizg’ich yordamida ) echilishini hisoblaydi.

4-darajali tenglamani keltirishni uninng kubik rezolventasini keltirish masalasiga olib keladi. Masalan ni deb, bu erda ga nisbatan kubik bo’lgan orqali aniqlaydi(isbotsiz).

3-4 –darajali tenglamalarini geometriya vositalari yordamida echishni 2 o’rta irotsional miqdorni va burchakni teng 3ga bo’lishni yasash malakasiga (arabchada usulda).

Kitobni muhokamasini tugatar ekanmiz, uning bir qator kamchiliklarini sanab o’taylik:

• 
  Faqat algebrik chiziqlar qaraladi;
  
• 
  Chiziqlarni klassfikatsiyasi daraja bo’yicha emas;
  
• 
  Algebrik apporatni geometriyaga tatbiqi nihoyasiga etmaydi;
  
• 
  Koordinatalar o’qlari teng kuchli emas;
  
• 
  Chiziqlarning xossalari faqat 1-chorakda o’rganilgan.
  

Dekart bilan birgalikda bir vaqtda analitik analitik geometriyaga asos slogan olim fransiyaning Tuluza shahrida Per ferma(1601-1665, savdogar oilasidan). Asli Tuluza universtetini yuridik fakultetini bitirgan. Bo’sh vaqtlarda matematika bilan shug’ullangan. Sonlar nazaryasi, geometriya, cheksiz kichiklar ustida operatsiyalar bajarish va optika sohalarini katta yutuqlarga erishdi. Uning “Tekislikdagi va fazodagi geometrik o’rinlar nazaryasiga kirish “ asari 1636 yili yozilgan bo’lib, 1679 yili e’lon qilingan. Bu asarda Ferma analitik geomatriya nazaryasini olg’a suradi, ya’ni koordinatalar to’g’ri chizig’i va algebrik metodlarni geometriyaga tatbiq etilishini ko’rsatadi. Bu asarda u Apoloniyning geometric o’rinlar nazaryasini rivojlantirib, tekislikdagi gelmetrik o’rinlar – to’g’ri chiziq va aylana hamda fazodagi geometrik o’rinlar –konus kesimlarini o’rganish bo’lib, 1-darajali tenglamalarga –to’g’ri chiziq va konus kesimlarga, 2-darajali tenglamalar mos kelishini ko’rsatadi. Koordinatalar metodi Dekartniki edi.

Dastlab u koordinata boshidan o’tuvchi to’g’ri chiziqning tenglamasi ax=by ko’rinishda ekanligini isbotlaydi, so’ngra to’g’ri burchakli koordinatalarda makazi koordinata boshida bo’lgan aylana tenglamasi; qo’shma deametrlar orqali ellips tenglamalarini chiqaradi.

1 va 2 darajali tenglamalarni umumiy ko’rinishda tekshirib, koordinatalarni o’zgartirish (o’qlarini burish vaq koordinata boshini siljitish) natijasida ularni kanonik formaga keltiradi va geometrik izohlashniqulaylashtiradi.

Fazodagi geometrik o’rinlarni analitik geometriya yordamida o’rganishda Ferma sirtlarini tekislik bilan kesish usulidan foydaliniladi. Afsuski, u bu ishni davom etira olmaydi va unda fazoviy koordinatalar yo’q edi.

Biz anqalitik geometriya elementlarini o’z ichiga olgan asarlardan 2 tasi bilan tanishdik. Qariyib 70 yil davimida bu soha sekinlik bilan rivojlandi.

1658-yili yarim kubik parabola massalasi hal qilindi.

1679-yili F.Lashr(1640-1718) tekislik tennnglamasini,

1700-yili A.Paron (1666-1716) sferik sirt va unga urinma tekislik tenglamasini topishdi.

1704 –yili I.Nyuton “3 tartibli chiziqlar ro’yxati” nomli asarida bu sohani sistemaga keltirib bu sohani sistemaga keltirib biroz rivojlantiradi.

Klero (1713-1765) fazoda 3 o’lchovli to’g’ri burchakli koordinatalar sistemasini kiritdi.

1748 yilda L.Eyler “Analizga kirish” asarida bu sohani hozirgi zamon analitik geometriya ko’rinishiga yaqinlashtirildi.

Nomi esa XVIII asr oxirida frasuz S.Lakrua berdi.

Bu davr matematiklari o’z ishlarida matematikaning yangi va eski turli sohalarni qamrab oladilar. Ular klassik bilimlarni yangi matodlar bilan boyitish va umuman yangi sohalarni kashf etdilar.

Jumladan Ferma Diofantni o’rganish bilan qadimgi sohani yangi metodlar bilan boyitdi(sonlar nazaryasi).

Dezerg esa geometriyani yanggicha interpretatsiya qilish bilan proektiv geometriyani ijod etdi.

Ferma,Paskal matematikaning mutlaqo yangi sohasi ehtimollar nazaryasiga asos soldilar.

Endi ularning asosiy ishlari bilan tanishaylik:

1. 1621 yilda Diofant asari lotin itlida chiqadi. Bu kitobni o’rgangan Ferma kitob varag’ining chetida bir qancha yozuvlar qoldirgan (1670-yilda og’li e’lon qilgan)

bo’l;sa, butun musbat sonlar to’plamida echimi yo’q (Fermaning buyuk teoremasi)

2-kitobning 8-masalasiga – kvadrat sonni 2 ta kvadrat songa ajratish- qarshisiga kubni 2 ta kubga, to’rtinchi darajani va hakozo 2 dan katta bo’lgan darajani shu ko’rsatkich bilan ifodalangan 2 ta daraja ko’rinishida tasvirlash mumkun emas deb yozadi va isbotini lekin joy etmaganini bahonasida isbotini keltimaganini ko’rsatadi.

Yana bir joyda 4n+1 ko’rinishdagi tub son faqat bir usulda 2 ta kvadratlarning yig’indisi ko’rinishida tasvirlash mumkun. Bu teoremani keyinroq Eyler isbotladi.

Agarda p tub, (a,p)=1 bo’lsa, ni isbotlaydi. , A butun va kvadrat emas bo’lganda cheksiz ko’p butun echimlarga ega bo’ladi deydi.

2. Lionlik arxitektor Jerar Dezarg 1636 ilda e’lon qilgan “ Konusni tekislik bilan uchrashganida hosil bo’ladigan narsalarni tushunish uchun urinish” maqolasida sintetik geometriyaning asosy tushunchalardan bazilari: cheksiz uzoqlashgan nuqta ilvolyutsi qutubdagi munosabatlar va boshqalar haqida gap yuritiladi. 1641 yil 16 yashar Paskal konus kesimga ichki chizilgan oltiburchak haqida “Paskal teoremasini “ isbotlaydi va bir varaqda e’lon qiladi. Bu Dezargga yangi ilhom baxsh etadi. Natijada 1648 yili Dezarg uchburchaklarni prespektiv akslantirish haqidagi teoremasini yangidan bayon etadi. Bu fikirlarniong aktualligi va sermahsulligi XIX asrga kelib to’la ma’noda ochiladi.

3. ferma va Paskal (1623-1662) ehtimollar nazriyasining asoschisidir. Dastlab ehtimollik sug’urta ishlarining rivojlanishi bilan bog’liqdir. ( 1-chi sug’urta tashkilotlari XIV asrda Italiya,Niderlandiya, . . .).

Shu bilan bir qatorda matematik oldiga qimor o’yinlari (karta,achkoli tosh) bilan bog’liq masalalar qo’yiladi.

Jumladan Kaveler do Mers (o’zi ham matematik bo’lgan ) Paskalga “ Ochkolar haqida masala “ bilan murojaat etadi. Buning natijasida u Ferma bilan birgalikda bu va shunga o’xshash masalalar bilan shug’ulanishdi va ular ehtimollar nazariyasining asosiy tushunchalarini hal (1654) etishadi. Parijga kelgan Gyugens bundan xabar topadi va masalaga o’z echimini beradi. Bu 1657 yili chiqqan “ Qimor o’yinlaridagi hisob haqida” asarida bayon etadi. Bu asar ehtimollar nazaryasiga oid 1-chi asardir.

1664 yilda (o’limidan so’ng) Paskal uchburchagi 1671 va 1693 yillarda de ?Vitt va Geliylar otmonidan ulish jadvalini e’lon qilinishi va aholini joylashish statiikasi, kuzatishlarni nazariy ishlab chiqish metodlari va boshqalar ehtimollar nazaryasini fan sifatida shakillanishiga olib keldi.

Ehtimollar nazaryasining bundan keyingi rivoji Yakab (1654-1705) Brenulli bilan bog’liqdir. 1713 yilda e’lon qilingan “Taxmin qilish san’ati “ kitobining 1-bo’limida Gyugensning qimor o’yinlari haqida traktati to’liq berilgan keyingi bo’limlarida kombinatorika qaralgan bo’lib,Bernulli teoremasi vaPaskal uchbuchakni qarash natijasda Bernulli sonlari paydo bo’lga edi va nihayat katta sonlar qonuning echlishi ehtimollar nazaryasini ilmiy fan darajasiga ko’tardi.