§ Выпуклые множества и выпуклые функционалы. Теорема Хана — Банаха

называется функционалом Минковского выпуклого тела .
Теорема 3. Функционал Минковского (6) — однородно- выпуклый и неотрицательный. Обратно, если — произволь­ный однородно-выпуклый неотрицательный функционал на ли­нейном пространстве и — положительное число, то
(7)
есть выпуклое тело_, ядром которого служит множество (содержащее точку 0). Если в (7) , то исход­ный функционал есть функционал Минковского для .
Доказательство. Для всякого элемент при­надлежит , если достаточно велико; поэтому величина определяемая равенством (6), неотрицательна и конечна. Про­верим положительную однородность функционала (6). Если и то
(8)
Проверим выпуклость . Пусть и произ­вольно. Выберем числа так, что ; тогда . Положим , тогда точка принадлежит отрезку с кон­цами и . В силу выпуклости этот отрезок, а значит, и точка принадлежат , откудa
.
Так как здесь произвольно, то

Следовательно, удовлетворяет условиям (2^') и (3), а по­тому это — неотрицательный однородно-выпуклый функционал.
Рассмотрим теперь множество (7). Если и , то

т. е. выпукло. Далее, пусть и , тогда
.
Если , то при всех если же хотя бы одно из неотрицательных чисел отлично от 0, то при

Непосредственно из введенных определений ясно, что р слу­жит функционалом Минковского для множества
Итак, введя понятие функционала Минковского, мы устано­вили соответствие между неотрицательными однородно-выпук- лыми функционалами и выпуклыми телами с ядром, содержа­щим точку 0.
Примеры. 1. При имеем, очевидно,
.

2. 
   Пусть — шар с центром 0 и радиусом в . Тогда
   

где — длина вектора .

2. 
   Пусть — «слой» в пространстве после­довательностей . Тогда
   

.
Замечания. 1. Иногда удобно рассматривать однородно- выпуклые функционалы, которые могут принимать не только конечные значения, но и значение (но не ). Тогда из равенства (где > 0) следует, что или . Легко проверить, что в этом последнем случае можно, не нарушая однородной выпуклости функционала, из­менить его значение в одной точке, положив вместо . Так обычно и делают.
Если — однородно-выпуклый, но не обязательно конеч­ный, функционал, то есть выпуклое множе­ство, но не обязательно выпуклое тело. Обратно, если — про­извольное выпуклое множество, содержащее точку 0, то для него можно определить функционал Минковского формулой (6), но при этом придется для допускать и значение
2. Если и — однородно-выпуклые функционалы, то таковы же и при . Далее, если — произвольное семейство однородно-выпуклых функ­ционалов, то таков и функционал В частности, верхняя грань любого непустого множества линейных функционалов на L есть однородно-выпуклый функцио­нал. Воспользовавшись теоремой Хана — Банаха, легко показать^ что так можно представить всякий (конечный) однородно-выпук­лый функционал.
Упражнение. Множество в линейном пространстве называется поглощающим, если для всякого существует такое , что для всех . Доказать, что выпуклое множество —поглощающее в том и только том случае, если его ядро содержит точку .