§ Выпуклые множества и выпуклые функционалы. Теорема Хана — Банаха

Тогда существует линейный функционал определенный на всем и удовлетворяющий условиям
.
Доказательство. Обозначим через и простран­ства и , рассматриваемые как действительные линейные пространства. Ясно, что — однородно-выпуклый функционал на , a — действительный линейный функцио­нал на , удовлетворяющий условию

и, тем более, условию
.
В силу теоремы 4 существует действительный линейный функ­ционал , определенный на всем и удовлетворяющий усло­виям

(11)
Ясно, что так что

Определим функционал / на L_y полагая

(здесь мы пользуемся тем, что — комплексное линейное пространство, так что в нем определено умножение на ком­плексные числа). Непосредственная проверка показывает, что — комплексный линейный функционал на , причем
при
при
Осталось показать, что для всех . До­пустим противное; тогда для некоторого имеем . Представим комплексное число в виде , где , и положим . Тогда что противоречит усло­вию (11).
Теорема доказана.
Упражнение. Покажите, что условие конечности функционала в теореме Хана — Банаха можно опустить.