1-§. Функция х,осиласининг таърифлари

х£(а, Ь) нуцтада чекли }'(х)Ф 0 х;осилага эга булса, у х;олда
lim V/
\х .° d y
=
булади.
Исбот. y — f ( x ) функция хб (а, Ь) нуктада чекли /'(х)=И=0
хосилага эга булсин. У холда
Ay = f ( x- \ - Ах) — f ( x) = f ' ( x ) Д х - | - а ( Л х ) Ах,
d y = f ( x ) d x = f' (х) Ах,
бунда lim a (A x )= 0 . Бу тенгликларни эътиборга олиб топамиз:
Лх— о
П т ^ = Пт Л ^ + “ <д* > ^ _
Лх-о
d y
лх—о
f ' ( x ) A x
= lim Л + 77Ц г -а (Л х ))= 1 + 77Щ lima(Ax) = 1 .
Дх—(Л
I \х > / I W Лх—о
Теорема исбот булди.
Бу теоремада аргумент орттирмаси Лх етарлича кичик булганда
—1У-ftt 1 булиши келиб чикади. Кейинги такрибий формулани
f ( x + A x ) z a f ( x ) + f ' ( x ) А х (8 )
куринишда хам ёзиш мумкин. Бу формуладан функцияларниш
кийматларини такрибий хисоблашда фойдаланилади.
4 __
Ми сол. Ушбу д/17 микдорни такрибий хисобланг.
4
Бу микдорни f (х) = д/х функциянинг xi = 17 нуктадаги киймати
деб к а р а ш мумкин. Агар х0= 1 6 деб олсак, унда Лх = х : — х()- I
4 ___
булиб, (8 ) формулага кура д/17 & f ( x 0) + / ' ( х 0) - Д х булади.
Равшанки,
Д х 0) = V Тб = 2 ,
250п * > = № ) ' = > " ' • г м - | < | 6 > = i s
Д ем ак, д/17 2 —1— ^ === “32^'~=: 2,031 .
Параметрик куринишда берилган функцияларни дифференци-
аллаш . х = ф ( /) , y = ^ ( t ) ф унк ц ия лар бирор (а, (3) -интервалда
берилган булиб, бу ораликда ф'(t), г|/(/) хо сил аларга эга х ам да х =
= ф ( 0 функци яга^ тескари / = ф~'(л:) функция м а в ж у д булсин.
У холда y = \ty(t) функция узгарувчи (параметр) t = ф_ | (х) ёрдамида
t/ = я);(ф 1
(х) ) куринишга келади. О датд а функциянинг бу куриниши
унинг параме трик куриниши дейилади ва х = ф (/), y = ty(t) каби
ифодаланади. Энди параметрик куринишда берилган функциянинг
хосиласини топамиз:
Маълумки*У'(х)=~. Энди х = ф ( 0 , y = ty(t) булгани учун
d y = ty' (t )dt , d x = (f' ( t ) dt булиб, y'(x)=^~~ булади.