1. Двойной интеграл. Определение двойного интеграла

16.1.6.2. Вычисление двойного интеграла. Двойной интеграл вычисляется переходом к повторному. Рассмотрим ряд примеров.

1. 
   
   .
   

Здесь область D (которую обязательно надо изобразить на чертеже) правильна в направлении обеих осей, поэтому вычисления по обеим формулам перехода имеют одинаковую трудоёмкость:

;



.
2. .
Здесь область D тоже правильна в направлении обеих осей, однако верхняя граница состоит из двух кусков: , поэтому первый из повторных интегралов будет содержать два слагаемых:

;


Этот пример проще решается по второй формуле.
3. .
Здесь переход к повторному интегралу по формуле бессмысленен, так как внутренний интеграл не берётся, в то же время второй повторный интеграл вычисляется без проблем:

4.

Здесь область D ограничена окружностью радиуса а, сдвинутой на а единиц по оси Ох. Уравнения для правой, левой, верхней и нижней полуокружностей приведены на рисунке. Повторные интегралы в декартовых координатах
, можно вычислить, но это достаточно трудоёмко. Попробуем перейти к полярным координатам (это имеет смысл, так как и подынтегральная функция, и кривая, ограничивающая D зависят от выражения x ² + y ² = r ²). Переход к полярным координатам в уравнении окружности даёт , или . Это и есть уравнение границы в полярных координатах. Итак,
О
твет явно неправильный. Мы должны получить объём тела, расположенного в полупространстве , ограниченного цилиндром