1. Двойной интеграл. Определение двойного интеграла

Теорема существования двойного интеграла. Если подынтегральная функция f(x, y) непрерывна на области D, то она интегрируема по этой области.
16.1.2. Геометрический смысл двойного интеграла. Геометрический смысл каждого слагаемого интегральной суммы: если , то - объём прямого цилиндра с основанием D_i высоты f(P_i); вся интегральная сумма - сумма объёмов таких цилиндров, т.е. объём некоторого ступенчатого тела (высота ступеньки, расположенной над подобластью D_i, равна f(P_i)). Когда , это ступенчатое тело становится всё ближе к изображенному на рисунке телу, ограниченному снизу областью D, сверху - поверхностью z = f(x, y), с цилиндрической боковой поверхностью, направляющей которой является граница области D, а образующие параллельны оси Oz. Двойной интеграл равен объёму этого тела.

16. 
    16.1.3. Свойства двойного интеграла.
    
17. 
    16.1.3.1. Линейность. Если функции f(x, y), g(x, y) интегрируемы по области D, то их линейная комбинация тоже интегрируема по области D, и .
    

Док-во. Для интегральных сумм справедливо равенство . Переходя к пределу при и пользуясь свойствами пределов, рассмотренными в разделе 4.4.6. Арифметические действия с пределами (конкретно, свойствами 4.4.10.1 и 4.4.10.2), получим требуемое равенство.

16.1.3.2. Аддитивность. Если область D является объединением двух областей D₁ и D₂, не имеющих общих внутренних точек, то .