1. Haqiqiy Evklid fazosining ta’rifi

Isbot. Bu aniq  Boshqa tomondan,. Koshi-Bunyakovskiy tengsizligini hisobga olib, biz olamiz
Uchburchak tengsizligi isbotlangan.
Evklid fazo normasi
Ta'rif 1 . Chiziqli fazo?chaqirdi metrik, agar mavjud bo'lsa bu bo'shliqning ikkita elementi x va y manfiy bo'lmagan tayinlanganraqam? (x,y), orasidagi masofa deb ataladi x va y , (? (x,y)? 0) , vashartlar (aksiomalar):
1) ? (x,y) = 0 x = y
2) ? (x,y) = ? (y,x)(simmetriya);
3) har qanday uchta vektor uchun x, y va z bu bo'shliq? (x,y) ? ? (x,z) + ? (z,y).
Izoh. Metrik fazoning elementlari odatda nuqtalar deb ataladi.
Evklid fazosi En metrik, bundan tashqari, orasidagi masofa sifatida vektorlar x? en va y? En olish mumkin x ? y.
Shunday qilib, masalan, bir ustunli matritsalar fazosida, qaerda

shuning uchun
Ta'rif 2 . Chiziqli fazo?chaqirdi normallashtirilgan, agar har bir vektor x bu bo'shliqdan salbiy bo'lmagan raqam unga qo'ng'iroq qildi norma x. Bunday holda, quyidagi aksiomalar bajariladi:
Normativ fazo metrik fazo ekanligini tushunish oson. mulk. Haqiqatan ham, orasidagi masofa sifatida x va y olishi mumkin. Evklid tilidafazo En har qanday vektor x normasi sifatida? En uning uzunligi sifatida qabul qilinadi, bular. .
Demak, Evklid fazosi En metrik fazo va bundan tashqari, Evklid fazosi En normalangan fazodir.
Vektorlar orasidagi burchak
Ta'rif 1 . Nolga teng bo'lmagan vektorlar orasidagi burchak a va b evklid fazosiE n qaysi raqamni nomlang 
Ta'rif 2 . Vektorlar x va y Evklid fazosi En deyiladi ortogonzig'ir, agar ular tenglikni qanoatlantirsa (x,y) = 0.
Agar x va y nolga teng bo'lmasa, ta'rifdan kelib chiqadiki, ular orasidagi burchak tengdir
E'tibor bering, null vektor, ta'rifiga ko'ra, har qanday vektorga ortogonal hisoblanadi.