1. Hosilaga nisbatan yechilgan birinchi tartibli differensial tenglamalar,yechim tushunchasi,xususiy va umumiy yechim,integral chiziq,koshi masalasi

1.Hosilaga nisbatan yechilgan birinchi tartibli differensial tenglamalar,yechim tushunchasi,xususiy va umumiy yechim,integral chiziq,koshi masalasi.
Agar tenglamadagi noma’lum funksiya bir nechta erkli o’zgaruvchiga bog’liq bo’lsa, tenglamada har-bir erkli o’zgaruvchilar bo’yicha olingan xususiy hosilalar qatnashishi mumkin. Bunday differensial tenglamalarga xususiy hosilali differensial tenglama deyiladi.
Masalan funksiya ikkita agrumentga bog’liq bo’lsin.
U holda
(2)
tenglamaga ikkinchi tartibli xususiy hosilali differensial tenglama
deyiladi.
(3)
ga esa birnichi tartibli xususiy hosilali differensial tenglama deyiladi.
Birinchi tartibli ODT ning umumiy ko’rinishi
(4)
dan iborat.
Agar bu tenglamani ga nisbatan yechish mumkin bo’lsa ya’ni
yoki (5)
Tenglama hosilaga nisbatan yechilgan birinchi tartibli differensial tenglama deyiladi.
Bunda funksiya tekislikning (sonlar tekisligi R -haqiqiy sonlar to’plami) sohasida aniqlangan bo’lsin. Agar (ochiq, yopiq yoki yarim ochiq) intervalda aniqlangan
funksiya uchun quyidagi uchta shart:

bajarilsa, u holda bu funksiya integralda (5) tenglamaning yechimi deyiladi.
Agar
(6)
(6) funksiya, (5) tenglamani qanoatlantirsa, unga tenglamaning umumiy yechimi deyiladi.
Bunda  ixtiyoriy o’zgarmas son (parametr) Ba’zi vaqtlarda umumiy yechim oshkormas
(7)
ravishda berilishi mumkin (6) yechimga, tenglamaning umumiy integrali deyiladi. Tenglamaninng umumiy yechimi yoki umumiy integrali, geometrik nuqtayi nazardan, bitta parametrga bog’liq bo’lgan egri chiziqlar oilasini ifodalaydi. Tekislikda har-bir yechim egri chiziqdan iborat. Unga tenglamaning integral chizig’i deyiladi. Koshi masalasi.

tenglama uchun Koshi masalasi deb, x=x₀bo’lganda shartini qanoatlantiruvchi yechimni topishga aytiladi. Boshqacha aytganda, tenglamaning shunday yechimini topish kerakkim, f nuqtasidan o’tsin.Koshi masalasini yechish uchun, dastavval berilgan differensial tenglamaning umumiy yechimi topiladi so’ngra boshlangich shartlar yordamida parametr  ning qiymati aniqlanadi.
yechimdagi o’rniga  qo’ysak Koshi shartini qanoatlantiruvchi
yechimga ega bo’lamiz.
Ta’rif. (5) differensial tenglamaning Koshi masalasini qanoatlantiruvchi y=y(x) yechimi xususiy yechim deyiladi. Ya’ni, boshqacha qilib aytganda, barcha nuqtalarida yagonalik sharti bajaraladigan yechim xususiy yechim deyiladi.
Ta’rif. Barcha nuqtalarida yechimning yagonalik sharti buziladigan yechim maxsus yechim deyiladi. Boshqacha qilib aytganda, (5) differensial tenglamaning (6) munosabat o‘z ichiga olmagan yechimlari maxsus yechimlar deb ataladi. Differensial tenglama nazariyasida differensial tenglamaning barcha yechimlarini topish asosiy masala hisoblanadi. Agar differensial tenglamaning yechimini elementlar funksiyalar va ularning integrallari yordamida yozish mumkin bo‘lsa, u holda differensial tenglama kvadraturalarda integralandi deyiladi.
Differensial tenglamaga keltiriladigan ba’zi bir masalalarni qaraymiz.
2.egri chiziqlar oilasining differensial tenglamasjni tuzish Egri chiziqlar oilasi: (1)
(1) oilaning egri chizig’iga o’tkazilgan urinmaning burchak koeffitsienti: (2)
O’ramani topish uchun:
(3)
1-m i s o l. tenglama markazlari o’qida joylashgan R radiusli aylanalar oilasini beradi. Bu oilaning o’ramalari va to’g’ri chiziqlardir (1-rasmga qarang).

2-m i s o l. aylanalar oilasining o’ramasini (6) sistema yordamida aniqlang.
Yechish. Oila tenglamasini S bo’yicha differentsiallaylik:
.
U holda (6) sistema bu misol uchun quyidagicha bo’ladi:

Bu sistemadan S ni yo’qotsak:
yoki
hosil bo’ladi. Shu natijaga biz boshqa usul bilan kelgan edik. Ma’lumki, bu o’rama edi. Bu yerda ham aylana statsionar nuqtalarga ega bo’lmagani uchun - o’rama tenglamasi, degan xulosaga kelamiz.