1-Маъруза: Фурье қатори ва Фурье коэффициенлари. Фурье қаторининг яқинлашиши. Дирихле теоремаси

1-Маъруза: Фурье қатори ва Фурье коэффициенлари. Фурье қаторининг яқинлашиши. Дирихле теоремаси.

Фурье қаторининг таърифи

Бу ва кейинги параграфларда хар бир хади махсус даврий функциялар бўлган функционал қаторлар - Фурье қаторларни ўрганамиз.
Бунда биз ҳар бир ҳади ушбу кўринишдаги

гармоникадан иборат ушбу
(1)
функционал қаторни қараймиз.
(1) қатор одатда тригонометрик қатор, сонлар эса тригонометрик қаторнинг коэффициентлари,

функциялар системаси эса тригонометрик система деб аталади.
Шундай қилиб, тригонометрик қатор гарчанд функционал қатор бўлса ҳам (унинг ҳар бир ҳади муайян функциялар бўлганлиги учун), ўз коэффициентлари лар билан тўла аниқланади.
(1) тригонометрик қаторнинг ушбу – қисмий йиғиндиси

тригонометрик кўпхад деб аталади.
функция оралиқда берилган ва шу оралиқда интегралланувчи бўлсин. У ҳолда функциялар ҳам, интегралланувчи ва узлуксиз функциялар кўпайтмаси сифатида интегралланувчи бўлади. Бу функцияларнинг оралиқ бўйича интегралларини ҳисоблаб, уларни қуйидагича белгилайлик:
,
, (2)

Бу сонлардан фойдаланиб, ушбу
(3)
тригонометрик қаторни тузамиз.
1-таъриф. коэффициентлари (2) формулалар билан аниқланган (3) тригонометрик қаторни функциянинг Фурье қатори деб аталади. сонлар эса функциянинг Фурье коэффициентлари дейилади.
Демак, берилган функциянинг Фурье қатори шундай тригонометрик қаторки, унинг коэффициентлари шу функцияга боғлиқ бўлиб, (2) формулалар билан аниқланади. Шу сабабли (3) қаторни (унинг яқинлашувчи ёки узоқлашувчи эканлигидан қатъий назар) ушбу “ ” белги билан қуйидагича ёзилади:

Одатда (2) Эйлер Фурье формулалари дейилади. Чунки бу формулалар XVIII асрнинг иккинчи ярмида Эйлер томонидан, XIX асрнинг бошларида Эйлерга боғлиқ бўлмаган равишда Фурье томонидан топилган.
Мисол. Ушбу

функциянинг Фурье қатори тузилсин.
(2) формуладан фойдаланиб, бу функциянинг Фурье коэффициент-ларини топамиз:





Демак, берилган функциянинг Фурье қатори қуйидагича бўлади:

.
Фараз қилайлик, бирор

тригонометрик (функционал) қатор оралиқда яқинлашувчи бўлсин. Унинг йиғиндисини деб белгилайлик:
. (4)
Бундан ташқари, (4) тенгликни ва функцияларга кўпайтиришдан ҳосил бўлган
(5)
қаторларни оралиқда ҳадлаб интеграллаш мумкин бўлсин.
(4) ва (5) тенгликларни оралиқда интеграллаймиз:

Агар бўлса,



_{эканлиги ва} бўлганда


_{бўлишини эътиборга олсак, унда}

,

эканини топамиз. Бу тенгликлардан эса
,
, (6)

келиб чиқади, бу ерда .
Демак, функция тригонометрик қаторга ёйилган бўлса ва бу қатор учун юқорида айтилган шартлар бажарилган бўлса, у ҳолда бу тригонометрик қаторнинг коэффициентлари функция орқали (6) формулалар билан ифодаланилади, яъни нинг Фурье коэффициентлари бўлади. Бинобарин, қаторнинг ўзи нинг Фурье қатори бўлади.