1-mavzu: fanning predmeti, maqsadi va vazifalari

Nochiziqli oddiy differensial tenglamalar yechimlari haqida ayrim ma’lumotlar. Noma’lum funksiyalarni va ularning hosilalari darajasi birinchisidan yuqori yoki murakkabroq tarzda aniqlangan differensial tenglamalar nochiziqli deyiladi. Fizikaviy jarayonlarni tavsiflovchi ko`plab differensial tenglamalar odatda faqat birlamchi yaqinlashishda chiziqli bo`ladi. Fizikaviy hodisalarni batafsil va aniqroq o`rganish, odatda, chiziqli bo`lmagan tenglamalarga olib keladi.
Chiziqli bo`lmagan tenglamalarning yechimlari odatda juda murakkab va ularni oddiy formulalar bilan ifodalash qiyin. Chiziqli bo`lmagan differensial tenglamalarni yechishning zamonaviy nazariyasining muhim qismi ularning xatti-harakatlarini sifatli tahlil qilishga bag`ishlangan. Bu nazariya tenglamani hal qilmasdan, umuman yechimlarning mohiyati haqida biror-bir muhim narsani aytishga imkon beradigan usullarni ishlab chiqishga qaratilgan: masalan, ularning barchasi cheklangan, yoki davriy xarakterga ega yoki ma’lum darajada koeffitsientlar bog`liq.
Chiziqli bo`lmagan differensial tenglamalarning taqribiy yechimlari iteratsion usullar yordamida topiladi.
Nyuton usuli. Ikkinchi tartibli differensial tenglama uchun aniqlangan chegaraviy masalani qaraylik
(1.1)
va quyidagi chegaraviy shartlar bajarilsin
(1.2)
(1.3)
(1.1) tenglamani birinchi tartibli ikkita differensial tenglamalar sistemasi ko`rinishida ifodalanadi
(1.4)
Yetishmayotgan hosilaning boshlang'ich qiymati s bilan belgilansin:
(1.5)
Masala (1.5) tenglama (1.3) chegaraviy shartni qanoatlantiradigan, (1.2) chegaraviy shartlar bilan qaralgan (1.4) Koshi masalasini yechimi bo`ladigan s qiymatni topishdan iborat. Shunday qilib, agar Koshi masalasining yechimi va bilan ifodalansa, u holda shunday s qiymatni topish talab etiladiki, quyidagi o`rinli bo`ladi
(2.48)
Nyuton metodida s ni hisoblashda iteratsion formula quyidagi ko`rinishda bo`ladi

yoki
(2.49)
s bo`yicha y hosilani topish uchun, s bo`yicha (1.2) va (1.5) chegaraviy shartlar bilan (1.4) sistemani differensiallanadi hamda quyidagiga ega bo`linadi
(2.50)
va
(2.51)
bunda
(2.52)
(1.2), (1.3) chegaraviy shartlarni qanoatlantiradiga (1.4) tenglamalar sistemasi yechimi quyidagi amallar yordamida topiladi.
1. (1.5) hosilaning yetishmayotgan boshlang'ich qiymati uchun s qiymat tanlanadi. Bu taqribiy s qiymat bilan belgilanadi.
2. (1.2), (1.5) ko`rinishidagi chegaraviy shartlar bilan berilgan Koshi masalasi (1.4) dan gacha integrallanadi.
3. (2.51) boshlang`ich shartlar bilan (2.50) tenglama dan gacha integrallanadi.
4. va qiymatlarni (2.49) formulaga qo`yib,

hosilaning yetishmayotgan boshlang'ich qiymati uchun keyingi taqribiy qiymat topiladi.
5. s ning berilgan aniqlikdagi qiymati topilmaguncha 2–4 qadam takrorlanaveradi.