16. Предел функции в точке. Эквивалентность двух определений предела функции в точке. Точка а называется предельной точкой множества Х, если в любой окрестности точки а содержится бесконечное число элементов множества Х. f(X) – множество предельных точек множества Х.
Пусть функция f: XR ->R, af(X).
Определение по Коши. Число b называется пределом функции f(x) в точке х=а, если >0 б=б()N: xX 0<|x-a|<б => |f(x)-b|<lim(x->a)f(x)=b.
Определение по Гейне. Число b называется пределом функции f(x) в точке х=а, если {xn}: xnN; nNxn≠a =>lim(n->)f(x)=b.
Т3.1 об эквивалентности определений предела функции. Определения предела функции в точке по Коши и по Гейне эквивалентны.
К =>Г. ● Пусть lim(x->)f(x)=b по Коши, т.е. >0 б()N: xX 0<|x-a|<б => | f(x)-b |<. Рассмотрим произвольную последовательность {xn} xnX, nN, xn≠a, lim(n->)xn=a для данного б() n0N: n>n0 0<|xn-a|<б тогда по опр. Коши => |f(x)-b|< =>lim(n->)f(xn)=b =>дляпроизвольной послед {xn} xnX, xn≠alim(n->)xn=a =>lim(n->)f(xn)=b ●
Г=>К. ● Пусть lim(x-a)f(x)=b по Гейне, т.е. {xn}: xn≠a, xX, nNlim(n->)xn=a =>lim(n->)f(xn) = b. Предположим противное тому, что требуется доказать. Противное: >0 б>0 xX (0<|x-a|<б) ( |f(x)-b|≥). Выберем Sn=1/n, тогда xnX (0<|xn-a|<1/n) (|f(xn)-b|≥) из левого неравенства =>lim(n->)xn=a по гейнеlim(n->)f(xn)=b, а это противоречит тому, что |f(xn)-b|≥. Полученное противоречие доказывает теорему.
17. Свойства пределов функции в точке: единственность предела, локальная ограниченность, сохранение знака. ДОРИСОВАТЬ В ПЕРВОЙ И ВТОРОЙ СТРОЧКЕ ВТОРОГО ДОКВА И ДАЛЬШЕ ДЛЯ U
Т3.2 о единственности предела. Если функция f(x) имеет предел в точке х=а, он единственный.
● Предположим противное. Пусть 2 предела lim(x->a)f(x)=b1; lim(x->a)f(x)=b2; b1≠b2. Пусть b12. Возьмем <(b2-b1)/2, тогда >0 б1>0 xX: 0<|x-a|<б1 => |f(x)-b1|<; b1-<f(x)<b1+ и б2xX: 0<|x-a|<б2 => |f(x)-b2|<; b2-<(x)<b2+. Тогда для б=min{б1, б2} подчеркнутые неравенства выполняются одновременно, что невозможно, т.к. -окрестности не пересекаются. Противоречие. ●
Т3.3 о локальной ограниченности. Если функция f(x) имеет предел в точке х=а, то окрестность этой точке, в которой функция ограничена.
● Пустьlim(x->a)f(x)=b б()>0: xX (a) => |f(x)-b|<. Фиксируем.Тогда b- |f(x)|≤Mx (a) ●
Т3.4 о сохранении знака. Еслиlim(x->a)f(x)=b>0 то (a) f(x)>0 x (a)
● Выберем a)f(x)=b>0 б x (a) => |f(x)-b|<=>b-1 8. Предельный переход в неравенствах. Теорема о пределе промежуточной функции. ВСТАВИТЬ ДЛЯ U
Т3.5 о предельном переходе в неравенствах. lim(x->a)g(x)=b1 , lim(x->a)f(x)=b2иx (a) g(x)≤f(x) то b1≠b2.
● Предположим противное. b1>b2, по усл. lim(x->a)g(x)=b1>0 б1()>0 x (a) => |y(x)-b1|< также для того же б2>0 x (a) => |f(x)-b2|<. Обозначим б=min{0, б1, б2} тогда x (a) при <(b1-b2)/2. f(x)1+1-Т3.6 о пределе промежуточной функции. Пустьlim(x->a)h(x)=b, lim(x->a)g(x)=b иx (a): h(x)≤f(x)≤g(x) тогдаlim(x->a)f(x)=b.
● б=min{0, б1, б2} x (a) b-≤h(x)≤f(x)≤g(x) |f(x)-b|<илиlim(x->a)f(x)=b ●
19. Критерий Коши существования предела функции. ПРОСТАВИТЬ ДЛЯ U
Функция f(x) удовлетворяет условию Коши в окрестности точки аX (f: X->R), если >0 б()>0: xI, xII (a) => |f(xI)-f(xII)|<.
Т7.3 Для того, чтобы функция f: X->R имела предел в точке х=а, необходимо и достаточно, чтобы она в окрестности точки а удовлетворяла условию Коши.
● Необходимость. Пусть lim(x->a)f(x) >0 б>0 xIX 0<|xI-a|<б => |f(xI)-b|</2; xIIX 0<|xII-a|<б => |f(xII)-b|</2. Рассмотрим разность: |f(xI) – f(xII)| = |f(xI)-a+a-f(xII)| ≤ |f(xI)-a| + |f(xII)–a| = /2+/2=.
Достаточность. Пусть f(x) удовлетворяет условию Коши в точке x=a>0 б>0: xI, xII (a) => |f(xI)-f(xII)|<. Рассмотрим произвольную последовательность {xn} xnX, xn≠a, lim(n->)xn=a. б>0 n0: n>n0 0<|xn-a|<б; m>n0 0<|xm-a|<б т.к. xn, xm (a) => по условию Коши |f(xn)-f(xm)|<. Это значит, что послед {f(xn)} – фундаментальная => по критерию Коши для последовательности lim(n->)f(xn). Рассмотрим {xIn}. xIn≠a, lim(n->)xIn=axnX. Аналогично рассуждая получим lim(n->)f(xn)=bI. Рассмотрим {xII0} = {x1, xI1, x2, xI2…} Т.к. lim(n->)xnII=bII. Но последовательность {xIIn} не может быть сходящейся т.к. у нее существует по крайней мере 2 различных пределаb и bI=>b-bI=bII. Lim(x->a)f(x)=b ●
0>