10. Bernshteyn kо‘phadi

71-ma’ruza

Uzluksiz funksiyani kо‘phad bilan yaqinlashtirish. Veyershtrass teoremasi
1⁰. Bernshteyn kо‘phadi. Aytaylik, funksiya segmentda berilgan bо‘lsin.

Ushbu

kо‘phad funksiyaning Bernshteyn kо‘phadi deyiladi va kabi belgilanadi:

.

Bunda .

Demak, Bernshteyn kо‘phadi -darajali kо‘phad bо‘lib, uning koeffitsiyentlari funksiyaning

nuqtalardagi qiymatlari orqali ifodalanadi.

Masalan,

,

bо‘ladi.

2⁰. Muhim lemma. Ushbu

, (1)

(2)

ayniyatlar о‘rinli.

◄Nyuton-binomi formulasi

da deyilsa, u holda

bо‘lishi kelib chiqadi.

(2) ayniyatni isbotlash uchun quyidagi

,

yiђindilarni hisoblaymiz.

Bu yiђindini hisoblashda yuqoridagi keltirilgan ning ifodasi va Nyuton binomi formulasidan foyda-lanamiz:



.

Demak,

. (3)

Endi

yiђindini hisoblaymiz:

Demak,

. (4)

Yuqoridagi (1), (3) va (4) munosabatlardan foydalanib topamiz:

. ►

Natija. , uchun

(5)

tengsizlik о‘rinli bо‘ladi.

◄Ravshanki, uchun

bо‘ladi. Bu tengsizlik va (2) munosabatdan (5) tengsizlikning о‘rinli bо‘lishi kelib chiqadi.►

3⁰. Uzluksiz funksiyani kо‘phad bilan yaqinlashtirish.

1-teorema. (Bernshteyn). Agar funksiya segmentda uzluksiz bо‘lsa, u holda

bо‘ladi, bunda

. (6)

◄(1) va (6) munosabatlardan foydalanib topamiz:

.

Kantor teoremasiga kо‘ra qaralayotgan funksiya da tekis uzluksiz bо‘ladi. Unda ta’rifga binoan

uchun

bо‘lganda

tengsizlik bajariladi.

Ma’lumki,

ayirmani ifodalovchi yiђindida ta had bо‘lib, ular ning qiymatlarida yuzaga keladi. Bu ning ushbu

tengsizlikni qanoatlantiradigan qiymatlari tо‘plamini bilan,

tengsizlikni qanoatlantiradigan qiymatlari tо‘plamini bilan belgilaylik.

Ravshanki,

bо‘ladi. Shuni e’tiborga olib, yuqoridagi yiђindini ikki qismga ajratamiz:

.

Endi bu yiђindilarni baholaymiz. funksiyaning da tekis uzluksizligidan hamda lemmadan foydalanib topamiz:

.

Ravshanki, funksiya da chegaralangan. Unda bо‘ladi. Shuni e’tiborga olib topamiz:

.

Agar

bо‘lishini hisobga olsak, unda lemmaga kо‘ra

bо‘ladi.

Shunday qilib,

bо‘ladi. Agar deyilsa, u holda

bо‘lib,

bо‘ladi. Bu munosabatdan esa

bо‘lishi kelib chiqadi.►

Bu teoremadan da

bо‘lishini topamiz. Demak, da uzluksiz bо‘lgan funksiya kо‘phad bilan yaqinlashtirildi:

Aytaylik, funksiya segmentda uzluksiz bо‘lsin. Ma’lumki, ushbu

chiziqli almashtirish segmentni segmentga almashtiradi. Bu almashtirishdan foydalanib ushbu

(7)

funksiyani hosil qilamiz. Ravshanki, funksiya da uzluksiz bо‘ladi. Yuqoridagi teoremadan foydalanib topamiz:

, (8)

bunda

.

(7) va (8) munosabatlardan

bо‘lishi kelib chiqadi, bunda

.

Shunday qilib quyidagi teoremaga kelamiz.

2-teorema (Veyershtrass). Agar funksiya segmentda uzluksiz bо‘lsa,

bо‘ladi.

Mashqlar

1. 
   Agar funksiya segmentda uzluksiz bо‘lsa, da
   

bо‘lishi isbotlansin.

2. 
   Agar funksiya segmentda uzluksiz bо‘lsa,
   

bо‘lishi isbotlansin, bunda – funksiyaning uzluk-siz moduli.