10–Маъруза. Сплайн якинлаштириш. Сплайн интерполяциялаш

10–Маъруза.


Сплайн якинлаштириш.Сплайн интерполяциялаш.

Режа:

1. 
   Кириш.
   
2. 
   Кубик сплайн куриш.
   
3. 
   Кубик сплайн билан интерполяциялаш жараёнининг якинлашиши.
   

Кириш.
Функцияни интерполяцион купхад ёрдамида якинлаштириш, купхад юкори тартибли булганда хисоблаш хатоликларининг йигилиб бориши натижасида ёмон якинлашади. Шунинг учун ораликни кичик ораликларга ажратиб хар бирида якинлаштирувчи купхад куриш анча яхши натижа бериши аникланди. Хар бир булакда купхаддан иборат ва маълум тартибли узлуксиз хосилаларга эга булган функция сплайн деб айтилади. Сплайн якинлаштириш купхад билан якилаштиришдан афзаллиги шундан иборатки у:
биринчидан: функцияга якинлашади,
иккинчидан: хисоблаш жарёни тургундир.


1.Кубик сплайнни куриш.
Фараз киламиз да аникланган узлуксиз функция берилган булсин.

турни аниклаб, каби белгилаймиз. функцияга ва тугун нукталарга мос сплайн деб куйидаги шартларни каноатлантирувчи функцияга айтилади:
1) хар бир сегментда функция учинчи даражали купхад;
2) функция ва унинг биринчи ва иккинчи тартибли хосилалари да узлуксиз;
3)
Охирги шарт интерполяциялаш шартлари деб айтилади, сплайн эса интерполяциялайдиган сплайн деб айтилади. Юкорида кайд этилган сплайн мавжуд ва ягоналигини исбот киламиз. Куйида келтириладиган исбот сплайнни куриш усулини хам аниклайди.
Хар бир кесмада , -ни
₍₁₎

куринишда кидирамиз.

Бу ердаги коэффициентлар аникланиши лозим булган номаълум коэффициентлар маъносини аниклаймиз.


тенгликларга эгамиз, шунинг учун

интерполяция шартларидан

ларни хосил киламиз. деб аниклаймиз. нинг узлуксизлик шартидан

Бундан, ифодасини инобатга олиб учун

тенгликларни хосил киламиз.

деб белгилаб, бу тенгламаларни
(2)
куринишларда ёзиб оламиз.
Биринчи тартибли хосиланинг узлуксизлиги
(3)
тенгламаларга олиб келади.
Иккинчи тартибли хосиланинг узлуксизлигидан
(4)
тенгликлар хосил булади. (2)-(4) тенгликларни бирлаштириб

номаълумларга нисбатан та тенгламалар системасини хосил киламиз. Иккита етмайдиган тенгламани хосил килиш учун га у ёки бу чегаравий шартлар куядилар. Масалан деб олиш мумкин. Унда булишини талаб килиш табиийдир. Бундан , яъни тенгламалар хосил булади. шартдан булганда (4)- билан бир хил булади. Шундай килиб, кубик сплайннинг коэффициентларини аниклаш учун куйидаги ёпик системага келамиз:


₍₅₎
(6)
(7)

Бу системанинг ягона ечимга эга эканлигига ишонч хосил киламиз. (5)-(7) системадан номаълумларни йукотиб, факат - номаълумлар катнашадиган системани хосил киламиз. Бунинг учун (7)- тенгламалардан икки кушниларини караймиз:

Биринчи тенгламадан иккинчини айириб

тенгликни хосил киламиз.
айирма учун топилган ифодани (6)- нинг унг томонига куйиб,
<sub>ёки

(8)</sub>
тенгликни хосил киламиз.
(5)- тенгликдан

тенгликларни хосил килиб, буларни (8)- га куйсак

тенглик хосил булади. с_i коэффициентларни аниклаш учун

тенгламалар системасини хосил киламиз. Бу система матрицасининг диагонал элементлари бошка элементларга нисбатан анча катта булганлиги учун унинг ечими мавжуд ва ягонадир. Бу система уч диагоналли булганлиги учун прогонка усулида ечиш мумкин. Бу холда прогонка методи тургундир. Аникланган c_i буйича b_i ва d_i коэффициентларни ошкор формулалар куринишида ёзиш мумкин

Шундай килиб, (1) - (3) ва чегаравий шартлар билан аникланадиган ягона сплайн мавжудлиги курсатилди.
Бошка чегаравий шартлар билан хам масалани караш мумкин эканлигини таъкидлаймиз.