2-боб. ТЎпламлар ва муносабатлар

3.2.18.Таъриф.а элемент билан R эквивалентлик муносабатида бўлган барча х А элементлар тўпламини, а элемент яратган эквивалентлик синфи дейилиб, уни а_R кўринишда белгиланади.
Бошқача қилиб айтганда, а_R =  х ן хRa, х А тўпламга, А тўпламдаги R эквивалентлик муносабатига нисбатан, а элемент яратган эквивалентлик синфи дейилади. А тўпламдаги R муносабат буйича барча эквивалентлик синфлари тўпламини A_R орқали белгилаймиз. Эквивалентлик синфининг ихтиёрий элементини, шу синфнинг вакили дейилади. Ҳар бир эквивалентлик синфидан биттадан олиб тузилган вакиллар тўпламига, эквивалентлик синфлари вакилларининг тўлиқ системаси дейилади.Биринчи мисолда ҳар бир синфдаги ўқувчилар тўплами битта эквивалентлик синфини ташкил этади. Ҳар бир синфдан биттадан олиб тузилган ўқувчилар тўплами эса эквивалентлик синфлари вакилларининг тўлиқ системаси бўлади.Иккинчи мисолда эквивалентлик синфи сифатида барча ўзаро паралел бўлган тўғри чизиқлар тўпламини, учинчи мисолда эса, хар бир эквивалентлик синфи, m бутун сонига бўлганда бир хил қолдиқ қоладиган бутун сонлардан иборат бўлиб, 0, 1, 2, …, m-1 сонлари эквивалентлик синфлари вакилларининг тўлиқ ситемаси бўлади. А_R тўпламга, А тўпламнинг R эквивалент муносабат бўйича олинган фактор тўплами дейилади. Масалан, биринчи мисолда “бир синфда ўқиш” муносабатияъни синфдошлик муносабати бўйича олинган фактор тўплам ,барча синфлардаги ўқувчилар тўпламидаги бир синфда ўқийдиган ўқувчилар, ўқувчилар тўпламларининг тўпламидан иборат бўлиб ,унинг хар бир элементи аниқ бир синфдаги барча ўқувчилар тўпламидир. . Барча эквивалент синфлар «бир синфда ўқиш» муносабати, яъни «синфдошлик» муносабати бўйича олинган фактор тўплам, барча синфлардаги ўқувчилар тўпламидаги бир синфда ўқийдиган ўқувчилар тўпламларининг тўпламидан иборат бўлиб, унинг ҳар бир элементи, аниқ бир синфдаги барча ўқувчилар тўпламидир.
3.2.19.Таъриф. А тўпламни бўлакларга бўлиш деб, А тўпламнинг шундай бўш бўлмаган қисм тўпламлари оиласига (мажмуасига) айтиладики, бу оилаларнинг (мажмуаларнинг) тўплам маъносидаги йиғиндиси А тўпламга тенг бўлиб, тўпламнинг ҳар қандай элементи бу қисм тўпламларининг биттаси ва фақат биттасига тегишли бўлади.
Биринчи мисолимизда «синфдошлик» муносабати бўйича, мактабдаги ўқувчилар тўпламини бўлакларга бўлсак, ҳар бир бўлак биттадан синфдаги ўқувчилар тўпламидан иборат бўлади, чунки барча синфлардаги ўқувчилар тўпламларининг йиғиндиси мактабдаги ўқувчилар тўпламига тенг бўлиб, ихтиёрий иккита синфдаги ўқувчилар тўплами умумий элементга эмас, яъни ихтиёрий ўқувчи битта ва фақат битта синфга тегишли бўлади.
R муносабат бирор бўш булмаган А тўпламдаги эквивалент муносабат бўлсин. У ҳолда қуйидаги теорема ўринлидир.