2. Ikki karrali integralning tadbiqlari

15.7-misol. tekisliklar bilan chegaralangan soha bo’yicha integralni hisoblang.
Yechish. soha tetraedrdan iborat bo’lib, ining ichidagi o’qiga parallel har bir to’g’ri chiziq soha chegarasini ikkita nuqtada kesib o’tgani uchun(15.27 ) formulaga asosan berilgan integral z bo’yicha bir karrali, x va y lar bo’yicha ikki karrali integrallarga ketma-ket keltiriladi. Bir karrali integralning chegaralari va bo’lib, sohaning proeksiyasi (G) soha chiziqlar bilan chegaralangan uchburchak bo’ladi:


15.8-misol. shar bo’yicha olingan uch karrali integralni takroriy integralga keltiring.
Yechish.(15.28 ) formulaga asosan

Uch karrali integralda o’zgaruvchilarini almashtirish
Uch karrali integrallarda o’zgaruvchilarini almashtirish ikki karrali integrallardagi kabidir. funksiya Jordan bo’yicha o’lchovli bo’lgan yopiq chegaralangan sohada berilgan va uzluksiz bo’lib, soha silliq yoki bo’lakli-silliq sirtlar bilan chegaralangan bo’lsin.
, , funksiyalar sistemasi sohani sohaga akslantirsin va bu akslantirish sohani sohaga o’zaro bir qiymatli akslantirish bo’lib, uning yakobiani noldan farqli bo’lsin. U holda

(15.29)
formula o’rinli bo’ladi, bu yerda almashtirish yakobiani
.
Shunday qilib, agar chegaralangan sohani sohaga o’zaro bir qiymatli akslantirish va uzluksiz , uzluksiz differensiallanuvchi noldan farqli yakobian berilgan bo’lib, sohada aniqlangan uzluksiz funksiya berilgan bo’lsa, u holda (15.29) uch karrali integralda o’zgaruvchilarni almashtirish formulasi o’rinli bo’ladi.
Xususiy holda dekart koordinatalar sistemasidan silindrik koordinatalar sistemasiga , munosabatlar yordamida o’tilganda (15.29) formula

(15.30)
ko’rinishda bo’ladi.
dekart koordinatalar sistemasidan sferik koordinatalar sistemasiga
( ),
munosabatlar yordamida o’tilganda (15.29) formula quyidagicha bo`ladi:

(15.31)