2-ma’ruza. Bul algebrasining asoslari, ikkilik kodlashtirish, ikkilik kodida sonlar bilan arifmetik operatsiyalarni bajarish. Reja

Download 121,5 Kb. bet 2/2 Sana 11.07.2022 Hajmi 121,5 Kb. #775366

Bog'liq
2-ma’ruza. Bul algebrasining asoslari, ikkilik kodlashtirish, ik

Bu sahifa navigatsiya:

• Funktsiya x
• 2 ning moduli bo’yicha qo’shish
• Mantiq algebrasi elementar funktsiyalarining xususiyatlari
• 2 ning moduli bo’yicha qo’shish funktsiyasi
• Implikatsiya funktsiyasi
• Sheffer shtrixi funktsiyasi
• Pirs strelkasi funktsiyasi

Funktsiya	x argumentli funktsiya qiymati		Funktsiya belgisi
Funktsiya nomi
	0	1
f0	0	0	0	doimo yolg’on
f1	0	1	x	o’zgaruvchi
f2	1	0	x	inkor
f3	1	1	1	doimo haqiqiy

Ikkita x₀ va x₁ o’zgaruvchilarning elementar mantiqiy funktsiyalarini ko’raylik (2-jadval). 2-jadval

Funktsiya	x0 , x1 argumentli funktsiya qiymati				Funktsiya belgisi	Funktsiya nomi
	00	01	10	11
f0	0	0	0	0	0	doimo yolg’on
f1	0	0	0	1	x0 x1	kon’yunktsiya
f2	0	0	1	0		x1 bo’yicha ta’qiq
f3	0	0	1	1	x0	x0 doimo haqiqiy
f4	0	1	0	0	x1	x0 bo’yicha ta’qiq
f5	0	1	0	1	x1	x1 doimo haqiqiy
f6	0	1	1	0	x0 x1	x0 va x1 ni 2 ning moduli bo’yicha qo’shish
f7	0	1	1	1	x0x1	diz’yunktsiya
f8	1	0	0	0	x0  x1	Pirs strelkasi
f9	1	0	0	1	x0 x1	teng qiymatlilik
f10	1	0	1	0		x1 doimo yolg’on
f11	1	0	1	1	x0x1	implikatsiya
f12	1	1	0	0		x0 doimo yolg’on
f13	1	1	0	1	x1 x0	implikatsiya
f14	1	1	1	0	x0 / x1	Sheffer shtrixi
f15	1	1	1	1	1	doimo haqiqiy

2-jadvaldagi funktsiyalardan bir qismi trivial hisoblanadi. Masalan, f₀=0, f₁₅=1 va f₃= x₀, f₅= x₁. Ularning ichida ikkitasi elementar funktsiyalardir - f₁₀= , f₁₂= . f₂ va f₄ funktsiyalari esa mos holda x₀ va x₁ bo’yicha ta’qiqi funktsiyalari hisoblanadi.

Qolganlarini qisqacha tavsiflaylik:
- x₀ va x₁ mantiqiy o’zgaruvchilarning diz’yunktsiyasi. Qisqacha x₀ va x₁ ning diz’yunktsiyasi. x₀x₁ kabi belgilanadi. « x₀ yoki x₁ » deb o’qiladi. Ta’rifi: x₀ va x₁ mantiqiy o’zgaruvchilarning diz’yunktsiyasi murakkab funktsiya bo’lib, u faqat x₀ va x₁ yolg’on bo’lgandagina yolg’on hisoblanadi (3-jadval).
x₀ va x₁ mantiqiy o’zgaruvchilarning kon’yunktsiyasi. x₀ x₁ kabi belgilanadi. « x₀ ham x₁ » deb o’qiladi. Ta’rifi: x₀ va x₁ ning kon’yunktsiyasi murakkab funktsiya bo’lib, u faqat x₀ va x₁ haqiqiy bo’lgandagina haqiqiy hisoblanadi (4-jadval).
- x₀ va x₁ mantiqiy o’zgaruvchilarning teng qiymatliligi. x₀ x₁ kabi belgilanadi. « x₀ x₁ ga teng qiymatlik» deb o’qiladi. Ta’rifi: x₀ va x₁ ning teng qiymatliligi murakkab funktsiya bo’lib, u faqat x₀ va x₁ haqiqiyliklari mos kelgandagina haqiqiy hisoblanadi (5-javdal).
- x₀ va x₁ ni 2 ning moduli bo’yicha qo’shish. x₀ x₁ kabi belgilanadi. « x₀ ni x₁ ga 2 ning moduli bo’yicha qo’shish» deb o’qiladi. Ta’rifi: x₀ va x₁ ni 2 ning moduli bo’yicha qo’shish murakkab funktsiya bo’lib, u faqat x₀ va x₁ ning haqiqiyliklari mos kelmaganda haqiqiy hisoblanadi (6-jadval). Ba’zi adabiyotlarda bu funktsiyani teng qiymatlilikning inkori deb ham atashadi.

3-jadval		4-jadval		5-jadval		6-jadval
00=0 01=1 10=1 11=1		00=0 01=0 10=0 11=1		00=1 01=0 10=0 11=1		00=0 01=1 10=1 11=0

- x₀ va x₁ ning implikatsiyasi. x₀ x₁ kabi belgilanadi. «Agar x₀, unda x₁» deb o’qiladi. Ta’rifi: x₀ va x₁ ning implikatsiyasi murakkab funktsiya bo’lib, u faqat x₀ haqiqiy, x₁ yolg’on bo’lgandagina yolg’on hisoblanadi (7-jadval). Ta’kidlash lozimki, implikatsiya sabab va oqibat orasidagi bog’lanish ma’nosiga ega emas, ya’ni x₀ ning haqiqiyligidan x₁ ning haqiqiylik sharti kelib chiqmaydi. Aksincha, implikatsiya yordamida tuzilgan murakkab fikrning haqiqiyligi uchun x₀ ning yolg’onligi kifoya. f₁₃ funktsiya x₁ x₀ ga mos keladi.

- x₀ va x₁ ning Sheffer shtrixi. x₀ / x₁ kabi belgilanadi. « x₀ shtrix x₁» deb o’qiladi. Ta’rifi: x₀ va x₁ ning Sheffer shtrixi murakkab funktsiya bo’lib, u faqat x₀ va x₁ haqiqiy bo’lgandagina yolg’on hisoblanadi (8-jadval).
- x₀ va x₁ ning Pirs strelkasi. x₀ x₁kabi belgilanadi. « x₀ Pirs strelkasi x₁» deb o’qiladi. Ta’rifi: x₀ va x₁ ning Pirs strelkasi murakkab funktsiya bo’lib, u faqat x₀ va x₁ yolg’on bo’lgandagina haqiqiy hisoblanadi (9-jadval).

7-jadval		8-jadval		9-jadval
00=1 01=1 10=0 11=1		00=1 01=1 10=1 11=0		00=1 01=0 10=0 11=0

Yuqorida ko’rilgan elementar mantiqiy funktsiyalar yordamida ixtiyoriy MAFni tavsiflash mumkin.

10-jadvalda uchta o’zgaruvchili mantikiy funktsiya uchun haqiqatlik jadvali keltirilgan.

10-jadval
To’plam tartib raqami	x1, x2, x3 to’plamlari	f funktsiya qiymati
0 1 2 3 4 5 6 7	000 001 010 011 100 101 110 111	0 0 0 1 0 1 1 1

Mantiq algebrasi elementar funktsiyalarining xususiyatlari
2-jadvaldan ko’rinib turibdiki, elementar funktsiyalar o’zaro ma’lum bog’lanishlarga ega. Bu bog’lanishlarni hamda elementar funktsiyalarning xususiyatlarini ko’rib chiqaylik.
Kon’yunktsiya, diz’yunktsiya, inkor (VA, YoKI, EMAS) funktsiyalari. Mantiq algebrasining asosiy qoidalaridan foydalanib, quyidagi aksiomalarning o’rinli ekanligiga qanoat hosil qilish mumkin. Aytaylik, x - biror bir mantiqiy funktsiya. Unda
1) x=x, mantiqiy ifodadan barcha qo’shaloq inkorga ega bo’lgan hadlarni chiqarib tashlab, ularni dastlabki qiymat bilan almashtirish imkoniyaitini bildiradi;
2) bunday o’zgartirish qoidalari mantiqiy ifoda uzunligini qisqartirishga imkon beradi;
3) x0=x; 4) x1=1; 5) x0=0; 6) x1=1; 7) xx=0; 8) xx=1 (mantiqiy haqiqiylik).
Diz’yunktsiya va kon’yunktsiya arifmetikadagi ko’paytirish amallariga o’xshash qator xususiyatlarga ega:
1) assotsiativlik xususiyati (uyg’unlashish qonuni):
x(y+z)=(x+y)+z,
x(yz)=(xy)z
2) kommutativlik xususiyati (ko’chirish qonuni):
xy=yx,
xy=yx;
3) distributivlik xususiyati (taqsimlanish qonuni):
diz’yunktsiyaga nisbatan kon’yunktsiya uchun
x(yz)=xyxz,
kon’yunktsiyaga nisbatan diz’yunktsiya uchun
xyz=(xy)(xz)
Bu xususiyatlarning o’rinli ekanligini yuqoridagi aksiomalardan foydalanib isbotlash aytarlicha qiyin emas.
De Morgan qonunlari sifatida ma’lum quyidagi munosabatlarning haqiqatligini ham ko’rsatish mumkin:
(1)
Bu qonundan quyidagini yozish mumkin:
(2)
demak, kon’yunktsiyani diz’yunktsiya va inkor orqali yoki diz’yunktsiyani kon’yunktsiya va inkor orqali ifodalash mumkin.
Mantiqiy funktsiyalar uchun singdirish qonuni sifatida ma’lum quyidagi munosabatlar o’rnatilgan:
(3)
2 ning moduli bo’yicha qo’shish funktsiyasi quyidagi xususiyatlarga ega:
kommutativlik (ko’chirish qonuni)
xu=ux;
assotsiativlik (uyg’unlashish qonuni)
x(uz)=(xy)z;
distributivlik (taqsimlanish qonuni)
x(uz)=(xy)(xz).
Bu funktsiya uchun quyidagi aksiomalar o’rinli:
xx=0; x1=x;
xx=1; x0=x.
Aksiomalar va xususiyatlardan foydalanib VA, YoKI, EMAS funktsiyalarni 2 ning moduli bo’yicha qo’shish funktsiyasi orqali ifodalash mumkin:
(4)
Implikatsiya funktsiyasi uchun quyidagi aksiomalar o’rinli:
xx=1; xx=x;
x1=1; 1x=x;
x0=x; 0x=1.
Aksiomalardan ko’rinib turibdiki, implikatsiya faqat ko’rinishi o’zgargan kommutativlik (ko’chirish qonuni) xususiyatiga ega
xu=ux.
Bu funktsiya uchun assotsiativlik xususiyati o’rinsizdir.
VA, YoKI, EMAS funktsiyalari implikatsiya funktsiyasi orqali quyidagicha ifodalanadi:
(5)


Sheffer shtrixi funktsiyasi uchun quyidagi aksiomalar o’rinli:
x/x=x; x/1=x;
x/x=1; x/0=1;
x/0=1; x/1=x.
Sheffer shtrixi funktsiyasi uchun faqat kommutativlik (ko’chirish qonuni) o’rinlidir:
x/u=u/x,
VA, YoKI, EMAS funktsiyalari Sheffer shtrixi funktsiyasi orqali quyidagicha ifodalanadi:
(6)
Pirs strelkasi funktsiyasi uchun quyidagi aksiomalar o’rinli:
xx=x; x0=x;
xx=0; x1=0.
Pirs strelkasi funktsiyasi uchun faqat kommutativlik (ko’chirish qonuni) xususiyati o’rinli:
xu=ux.
VA, YoKI, EMAS funktsiyalarini Pirs strelkasi funktsiyasi orqali quyidagicha ifodalash mumkin:
(7)


Nazorat savollari

1. 
   Mantiq algebarasi nimani o’rganadi?
   
2. 
   Mantiqiy funktsiyaning haqiqiylik jadvali nima?
   
3. 
   Ikki o’zgaruvchining elementar mantiqiy funktsiyalarini sanab o’ting.
   
4. 
   Mantiq algebrasining asosiy aksiomalari va qoidalari
   

Adabiyotlar

1. 
   X.K.Aripov, A.M.Abdullaev, N.B.Alimova, X.X.Bustanov, E.V.Ob’edkov, Sh.T.Toshmatov. Sxemotexnika. T.: TAFAKKUR BO’STONI, 2013 y.
   
2. 
   X.K. Aripov, A.M. Abdullayev, N.B. Alimova, X.X. Bustanov, Sh.T. Toshmatov. Raqamli mantiqiy qurilmalami loyihalashtirish. Darslik. -T.: «Aloqachi », 2017, 396 bet.
   
3. 
   Х.К.Арипов, А.М.Абдуллаев, Н.Б.Алимова, Х.Х.Бустанов, Е.В.Объедков, Ш.Т.Тошматов. Схемотехника. Т.: ALOQACHI, 2010г.
   
4. 
   Digital Logic Design, Jiwang Ware Z Scene. Fourth Edition, 2002y.
   
5. 
   Robert L. Boyleastad. Introductory Circuit analysis. 2014-Pearson Education Limited, 1091 p.
   
6. 
   Stephon Brown, Zvonko Vranesic. Fundamentals of Digital Logic with Verilog Design. 2014-The Me Grow-Hin Companies. 847p.
   
7. 
   Behzad Razavi. Fundamentals of Microelectronics.2nd edition. 2014y. John Wiley&Sons. 932 p.
   
8. 
   Амосов B.B. Схемотехника и средства проектирования цифровых устройств. Учебное пособие. БХВ-Петербург. 2016г. 562с.
   
9. 
   В.М. Пролейко. Базовые лекции по электронике (в 2-х томах). ТЕХНОСФЕРА. Москва. 2009 г.
   
10. 
    С.Н.Лехин. Схемотехника ЭВМ. Санкт-Петербург, 2010г.
    

Download 121,5 Kb.

Do'stlaringiz bilan baham: