2-Ma’ruza. Vektorlar ustida chiziqli amallar. Vektorlarning skalyar ko’paytmasi va xossalari

Izoh. Nol vektor 0 har qanday a vektorga kollinear deb hisoblanadi.
6-TA’RIF: Quyidagi uchta shartlar bajarilganda a va b teng vektorlar deyiladi:
1. a||b , ya’ni bu vektorlar kollinear;

2. 
   |a|=|b|, ya’ni bu vektorlar bir xil uzunlikka ega;
   

3. a va b vektorlar bir xil yo‘nalishga ega.
Agar a va b teng vektorlar bo‘lsa, a=b deb yoziladi. Masalan, yuqoridagi ABCD parallelogrammda = , = bo‘ladi. Bu yerdan vektorlarni parallel ko‘chirish mumkinligi kelib chiqadi.
7-TA’RIF: Bitta yoki parallel tekisliklarda joylashgan uch va undan ortiq vektorlar komplanar deyiladi.
Masalan, uchburchakning turli tomonlarida joylashgan vektorlar komplanar bo‘ladi.

2. 
   Vektorlar ustida amallar. Endi vektorlar ustida arifmetik amallar kiritamiz.
   

8-TA’RIF: a vektorni  songa (skalyarga) ko‘paytmasi deb quyidagi uchta shart bilan aniqlanadigan yangi bir c vektorga aytiladi:

1. 
   |c|= |λ||a|, ya’ni a vektorning uzunligi marta o‘zgaradi;
   
2. 
   c || a, ya’ni bu vektorlar kollinear;
   
3. 
   >0 bo‘lsa c va a bir xil yo‘nalgan, <0 bo‘lsa c va a qarama-qarshi yo‘nalgan.
   

a vektorni  songa ko‘paytmasi a kabi belgilanadi. Masalan, ABCD trapetsiya bo‘lib, uning AD va VS asoslarining uzunliklari |AD|=8 va |BC|=4 bo‘lsa, unda =2 va =–2 tengliklar o‘rinli bo‘ladi.
Vektorlarni songa ko‘paytirish amali quyidagi xossalarga ega:
1. (a)=(a) 2. ()a= a  a 3. 0· a=0.
Bu yerda λ va  ixtiyoriy sonlarni, a esa ixtiyoriy vektorni ifodalaydi.
9-TA’RIF: (–1)a vektor a vektorga qarama-qarshi vektor deyiladi va – a kabi belgilanadi.
Masalan, yuqorida ko‘rilgan ABCD parallellogramda va , va qarama-qarshi vektorlar, ya’ni =– , =– bo‘ladi.
Endi ikkita a va b vektorlarni qo‘shish amalini kiritamiz. Buning uchun parallel ko‘chirish orqali ularning boshlarini bitta A nuqtaga keltiramiz. Unda bu vektorlarni a= , b= kabi belgilab, ABCD parallelogrammni hosil qilamiz (10-rasm).
10-TA’RIF: a va b vektorlarning yig‘indisi deb ABCD parallelogrammning A uchidan chiquvchi diagonalidan hosil qilingan vektorga aytiladi va a+b kabi belgilanadi.



Vektorlar yig‘indisining bu usulda aniqlash parallelogramm qoidasi deyiladi va unga moddiy nuqtaga qo‘yilgan ikkita kuchning teng ta’sir etuvchisini topish asos qilib olingan. Bu yig‘indini uchburchak qoidasi deb ataladigan quyidagi usulda ham topish mumkin. Bunda dastlab parallel ko‘chirish orqali b vektorning boshi a vektorning uchi ustiga keltiriladi (11-rasm). So‘ngra a boshidan chiqib, b uchida tugaydigan vektor hosil qilinadi va u a+b yig‘indini ifodalaydi.

11-rasm

Bir nechta a₁, a₂, a₃, …, a_n (n≥3) vektorlarning yig‘indisi parallelogramm qoidasini bir necha marta ketma-ket qo‘llash yoki ko‘pburchak qoidasi deb ataladigan ushbu usulda topiladi. Bu usulda parallel ko‘chirish orqali a₁ uchiga a₂ boshi, a₂ uchiga a₃ boshi va hokazo a_n–1 uchiga a_n boshi keltirib qo‘yiladi. Hosil bo‘lgan (16-rasmga qarang) siniq chiziqning boshi (a₁ vektor boshi) bilan oxiri (a_n vektor uchi) tutashtirilib, a=a₁+ a₂+ a₃+ …+ a_n yig‘indi vektor topiladi. Masalan, uchta a₁, a₂ va a₃ vektorlarning a=a₁+a₂+a₃ yig‘indisini topish quyidagi 12-rasmda ko‘rsatilgan:

12-rasm

Agar a₁, a₂ va a₃ bir tekislikda joylashmagan vektorlar bo‘lsa, ko‘pburchak qoidasi bilan topilgan a=a₁+a₂+a₃ yig‘indi qo‘shiluvchi vektorlarni parallel ko‘chirish orqali umumiy bir 0 boshga keltirib hosil qilinadigan parallelepipedning 0 uchidan chiquvchi diagonali kabi ham topilishi mumkin. Bu parallelepiped qoidasi deb ataladi.
Vektorlarni qo‘shish amali quyidagi xossalarga ega: