Misol.
matrisa determinanti topilsin.
Yechish.
Yuqoridagi formulaga ko’ra, birinchi satr elementlari bo’yicha
yoyilma quyidagicha bo’ladi
Ta’rif.
n-tartibli kvadrat
matritsaning determinanti deb, quyidagi
tenglik
bilan
aniqlangan
songa
aytiladi:
Bu ta’rifdan foydalanib 2 va 3 tartibli determinantlarni hisoblash uchun
quyidagi formulalarni hosil qilamiz:
Determinant xossalari
1-хоssа
. Аgаr
-mаtritsаning birоn-bir sаtridаgi (ustunidаgi) bаrchа
elеmеntlаri nоlgа tеng bo’lsа, u hоldа uning dеtеrminаnti nоlgа tеng bo ‘ladi.
2-хоssа
. Аgаr
-mаtritsаning birоn-bir sаtr (ustun) elеmеnti
sоnigа
ko’pаytirilsа, dеtеrminаnt qiymаti hаm sоnigа ko’pаyadi, ya’ni
gа tеng bo
‘ladi.
3-хоssа
.
-mаtritsа vа uning trаnspоnirlаngаni
mаtritsаlаrning
dеtеrminаntlаri tеng bo’ladi, ya’ni
tеnglik o’rinlidir.
4-хоssа
. Аgаr
- mаtritsаning ikkita qo’shni sаtrlаri o’rnini аlmаshtirsаk,
hоsil bo’lgаn yangi
mаtritsаning dеtеrminаnti
-mаtritsа dеtеrminаntining
tеskаri ishоrа bilan olinganiga tеng bo ‘ladi, ya’ni
tеnglik o’rinli bo’ladi.
4
6
1
2
5
2
9
0
4
A
5
2
2
2
2
5
4
6
0
4
9
4
9
0
4 20 0
6 8 18
0 45
80 60 45
95
A
)
(
ij
a
A
21
12
22
11
12
12
11
11
2
1
1
1
22
21
12
11
a
a
a
a
A
a
A
a
A
a
a
a
a
a
k
k
k
33
12
21
11
23
32
31
22
13
13
32
21
31
23
12
33
22
11
31
22
32
21
31
23
33
21
12
32
23
33
22
11
32
31
22
21
13
33
31
23
21
12
33
32
23
22
11
13
13
12
12
11
11
3
1
1
1
33
32
31
23
22
21
13
12
11
)
(
)
(
)
(
13
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
A
a
A
a
A
a
A
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
k
k
k
A
A
A
A
A
A
A
1
A
A
A
1
n
k
k
k
A
a
A
1
1
1
5-хоssа
. Аgаr
-mаtritsа bir хil ikki sаtrgа (ustungа) egа bo’lsа, u hоldа
uning dеtеrminаnti nоlgа tеng , ya’ni
bo ‘ladi.
6-хоssа
. Аgаr
-mаtritsаda ikki sаtrning (ustun) mоs elеmеntlаri
prоpоrsiоnаl bo’lsа, u hоldа uning dеtеrminаnti nоlgа tеng, ya’ni
bo ‘ladi.
7-хоssа
. Аgаr
mаtritsаning birоn sаtr (ustun) elеmеntlаrini bоshqа sаtr
(ustun) mоs elеmеntlаrining аlgеbrаik to’ldiruvchilarigа ko’pаytirib yig’indi hоsil
qilsаk, bundаy yig’indi nоlgа tеng bo’ladi, ya’ni
.
8- хоssа
. mаtritsаning birоn-bir sаtri (ustuni) elеmеntlаrini bir хil sоngа
ko’pаytirib, bоshqаsigа qo’shishdаn hоsil bo’lgаn - mаtritsаning dеtеrminаnti
mаtritsа dеtеrminаntigа tеng bo’ladi, ya’ni
.
9-хоssа
.
sоnlаrni n-tаrtibli mаtritsаning bеrilgаn sаtr (ustun)
mоs elеmеntlаrining аlgеbrаik to’ldiruvchilаrigа ko’pаytmаsining yig’indisi,
mаtritsаning bеrilgаn sаtr (ustun) elеmеntlаrining
sоnlаri bilаn
аlmаshtirilgаn mаtritsа dеtеrminаntigа tеng bo ‘ladi.
10-хоssа
. n-tаrtibli kvаdrаt
vа mаtritsаlаr uchun
tеnglik
o’rinli bo’ladi, ya’ni mаtritsаlаr ko’pаytmаsining dеtеrminаnti, ulаrning
dеtеrminаntlаri ko’pаytmаsigа tеng bo’ladi.
Yechish.__2.2.__Minor_va_algebraik_to’ldiruvchi'> Misol.
Yechish.
2.2.
Minor va algebraik to’ldiruvchi
Laplas yoyilmasi yordamida har qanday tartibli
determinantni hisoblash
mumkin. Lekin buning uchun ba’zi tushunchalar bilan tanishishimiz kerak
(ba’zilaridan biz foydalandik ham).
Minorlar. A
matrisa |
M
ij
| minori deb
i
satr va
j
ustunni o’chirishdan hosil
bo’lgan determinantga aytiladi.
Masalan,
matrisa uchun
Misol.
A
0
A
A
0
A
A
n
k
jk
ik
j
i
A
a
1
,
0
A
1
A
A
A
A
1
n
b
b
b
,
,
,
2
1
A
A
n
b
b
b
,
,
,
2
1
A
B
B
A
B
A
1
2
1
3
5
3
?
2
7
1
1
2
1
3
5
3
5 12 21 10 21 6
33.
2
7
1
11
12
13
21
22
23
31
32
33
a
a
a
A
a
a
a
a
a
a
22
23
11
32
33
a
a
M
a
a
matrisa uchun
minorni hisoblang.
Yechish.
Uchinchi satr va birinchi ustunni o’chirib
minorni hosil qilamiz.
Minor ta’rifidan foydalanib, 3 tartibli determinant
hisoblash formulasini
quyidagicha yozish mumkin
Algebraik to’ldiruvchi.
.
ishora aniqlikdagi |
M
ij
| minorga
algebraik to’ldiruvchi deyiladi.
algebraik to’ldiruvchi ishorasi
. Shunday
qilib, satr va ustun nomerlari yig’indisi toq bo’lsa,u holda ishora manfiy bo’ladi.
Masalan, 3 tartibli
A
matrisada
algebraik to’ldiruvchini topish uchun 1 satr va
2 ustunni o’chiramiz,
bo’lgani uchun hosil bo’lgan determinantni
ga
ko’paytiramiz. Demak,
Misol.
matrisa uchun
algebraik to’ldiruvchini toping.
Yechish.
i
+
j
= 4 bo’lgani uchun
Algebraik to’ldiruvchi ta’rifidan foydalanib, 3 tartibli determinant hisoblash
formulasini quyidagicha yozish mumkin
(1)
Bu munosabat xuddi A determinantni hisoblash formulasidek ko’ringani
bilan, shuni ta’kidlash kerakki, bu yerdagi ikkinchisi element ishorasi musbatligiga
qaramasdan unga mos algebraik to’ldiruvchilardan manfiydir.
2.3. Yuqori tartibli detirminantlarni hisoblash
Laplas yoyilmasi.
Har
qanday
n
tartibli matrisa determinantini Laplas
yoyilmasidan foydalanib hisoblash mumkin
8
2
3
1
9
4
4
3
6
A
31
M
31
2
3
8 27
19
9
4
M
11
11
12
12
13
13
A
a M
a
M
a
M
1
i j
ij
C
ij
C
1
i j
12
C
3
i
j
3
1
3
21
23
21
23
12
31
33
31
33
1
1
a
a
a
a
C
a
a
a
a
8
2
3
1
9
4
4
3
6
A
22
C
4
22
8
3
1
1 48 12
36
4 6
C
11
11
12
12
13
13
A
a C
a C
a C
bunda yig’indi 1 dan n gacha ustun bo’yicha ham (j) yoki satr bo’yicha ham (i)
bo’lishi mumkin. Agar siz (1) 3 tartibli determinant hisoblash formulasiga e’tibor
bersangiz, u Laplas yoyilmasini ifodalaganini anglaysiz. Agar berilgan matrisa 4
yoki yuqori tartibli bo’lsa, u holda algebraik to’ldiruvchilar 3 tartibli yoki yuqori
tartibli bo’ladi. shunday qilib, Laplas yoilmasi tarbni pasytirish orqali hisoblashdir,
ya’ni berilgan determinantning tartibi bittaga pasayadi. Har qanday yuqori tartibli
determinantni Laplas yoyilmasidan foydalanib hisoblaganda unu tartibini ikkinchi
tartibgacha tushirib hishoblash qulay.
Determinant tartibi yetarli katta bo’lganda ko’p hisoblashlar bajarishga to’g’ri
keladi va shuning uchun tezroq hisoblash usullari zarur bo’ladi.
Oldin bu usulda hisoblashga misol ko’raylik.
Misol.
Laplas yoyilmasidan foydalanib, quyidagi matrisa determinantni
hisoblang
Yechish.
Matrisa determinantini hisoblash uchun uni birinchi ustun
elementlari bo’yicha yoyamiz(bu ustonda nol elementi bo’lgani uchun hisoblashda
bitta kam uchinchi tartibli determinant hisoblash qulaylik tug’diradi)
Endi uchinchi tartibli har bir determinantni yana
birinchi ustun elementlari
bo’yicha yoyamiz:
Ta’rif
. -tartibli kvadrat
matritsa
elementining
-minori deb,
A-matritsaning i-satri va j-ustunini o’chirishdan keyin hosil bo’lgan
tartibli
matritsa determinantiga aytiladi.
1
,
1,2,3,...,
n
ij
ij
i
A
a C
j
n
1
,
1,2,3,...,
n
ij
ij
j
A
a C
i
n
8 10
2
3
0
5
7 10
2
2
1
4
3
4
4
0
A
5
7 10
10
2
3
10
2
3
10
2
3
8 2
1
4
0 2
1
4
2 5
7 10
3 5
7 10
4
4
0
4
4
0
4
4
0
2
1
4
A
1
4
7
10
7
10
7
10
2
3
2
3
8 5
2
4
2 10
5
4
0
4
0
1
4
4
0
4
0
7
10
7
10
2
3
2
3
3 10
5
2
1
4
1
4
7
10
8 5
16
2
40
4 18
2 10
40
5
12
4
1
3 10 18
5 5
2
1
8
80
80
72
2
400
60
4
3 180
25
2
8 72
2
344
3 153
576
6
A
88
459
571
n
)
(
ij
a
A
ij
a
ij
M
)
1
(
n
Ta’rif
. n-tartibli
matritsa
-elementining algebraik to’ldiruvchisi
- deb quyidagi songa aytiladi
.
Yig’indi
-satr bo’yicha yoyilma,
yig’indi esa, j-ustun
bo’yicha yoyilma deb ataladi.
Ta’rif
. n-tartibli kvadrat
matritsaning determinanti deb, quyidagi
tenglik bilan aniqlangan songa aytiladi:
Teorema
(
Lаplаs tеоrеmаsi).
Istаlgаn
vа lаr uchun
tеnglik o‘rinli bo ‘ladi.
Misol.
determinant hisoblansin.
I usul.
Dastlab, to’rtinchi satr elementlari bo’yicha yoyib hisoblaymiz
II usul.
Endi, determinantning xossalaridan foydalanib, uchinchi ustun
elementlarini nolga aylantiramiz va shu ustun bo’yicha yoyib hisoblaymiz:
=
Bu usulni “
determinantni tartibini pasaytirib hisoblash usuli
” deb ham yuritiladi.
Nazorat savollari.
1. Laplas yoyilmasini tushintiring?
2. Minor deb nimaga aytiladi?
3. Algebraik to’ldiruvchi deb nimaga aytiladi?
4. determinantning xossalarini keltiring
?
)
(
ij
a
A
ij
a
ij
A
ij
j
i
ij
M
A
)
1
(
1
n
is
is
s
a
A
i
n
k
kj
kj
A
a
1
)
(
ij
a
A
n
k
k
k
A
a
A
1
1
1
i
j
n
s
n
k
kj
kj
is
is
n
j
n
i
A
A
a
A
a
1
1
,
1
;
,
1
2
4
5
1
4
0
2
3
2
1
3
5
0
3
1
2
41
41
42
42
43
43
44
44
41
41
42
42
43
43
44
44
.
2
1 3
0
1 3
0
2
3
0
2
1
0
2
1 3
5
3 1
2
3
1
2
5 5
1
2
4 5
3
2
2 5
3
1
546.
3
2 0
4
2
0
4
3
0
4
3
2
4
3
2
0
1
5
4 2
A
a A
a A
a A
a A
a M
a M
a M
a M
A
2
1
3
0
5
3
1
2
3
2
0
4
1
5
4
2
0
7
2
4
2
3
6
10
17
6
17
19
4
2
3
6
10
17
6
0
17
19
4
0
2
3
2
1
3
5
6
0
10
17
10
6
17
6
2
7
2( 40
12)
7 68
18
546.
2
4
3
4
