28-§. Ptolemey va Paskal teoremalari hamda ularning isbotlari Ptolemey teoremasi

Simpson teoremasi. Aylanada A, B, C nuqtalar berilgan bo‘lsin. U holda, ixtiyoriy P nuqtadan AB, BC, CA tomonlarga tushirilgan perpendikulyarlarining asoslari bitta to‘g‘ri chiziqda yotishi uchun P nuqtaning ham shu aylanada yotishi zarur va yetarli.
D nuqtadan AB, BC, CA tomonlarga tushirilgan perpendikulyarlarning asoslari mos ravishda bo‘lsin. dan nuqtalar CD markazli aylanada yotadi. Bundan CD diametrga sinuslar teoremasini qo‘llasak:

ABC uchburchakka tashqi chizilgan aylana radiusi R bo‘lsin, u holda sinuslar teoremasiga ko‘ra:

(1.5) va (1.6) tengliklardan foydalansak:
tenglikka ega bo‘lamiz. Yuqoridagi kabi ish yuritib quyidagi tengliklarni ham olish mumkin:
Simpson teoremasiga ko‘ra nuqtalar bitta to‘g‘ri chiziqda yotadi, bundan:

munosabatga ega bo‘lamiz. Endi (1.7) va (1.8) tengliklarni (1.9) ga olib borib qo‘ysak:

Tenglikka ega bo‘lamiz. Demak,