3. 3E: Runge-Kutta Usuli (Mashqlar) Matematika

3.3.3-savol
In boshlang'ich qiymatining chiziqli muammolari 3.3.14-3.3.19 mashqlari ma'lum bo'lgan elementar funktsiyalar nuqtai nazaridan aniq hal etilmaydi. Har bir mashqda Runge-Kutta va Runge-Kutta yarim chiziqli usullaridan foydalanib, ko'rsatilgan qadam o'lchamlari bilan berilgan boshlang'ich qiymat masalasini hal qilishning taxminiy qiymatlarini oraliqda 11 ta teng masofada joylashgan nuqtalarda (so'nggi nuqtalarni o'z ichiga olgan holda) toping.
14. (y'-2y = {1 over1 + x ^ 2}, quad y (2) = 2 ); (h = 0.1,0.05.0.025 ) bo'yicha ([2,3] )
15. (y '+ 2xy = x ^ 2, quad y (0) = 3 ); (h = 0.2,0.1,0.05 ) bo'yicha ([0,2] ) (2.1.38-mashq)
16. ({y '+ {1 x = y = { sin x over x ^ 2}, quad y (1) = 2;} ) (h = 0.2,0.1,0.05 ) ([1,3] ) (2.1.39-mashq)
17. ({y '+ y = {e ^ {- x} tan x over x}, quad y (1) = 0;} ) (h = 0.05,0.025,0.0125 ) on ([1,1.5] ) (2.1.40-mashq)
18. ({y '+ {2x over 1 + x ^ 2} y = {e ^ x over (1 + x ^ 2) ^ 2}, quad y (0) = 1}; ) (h = 0.2,0.1,0.05 ) bo'yicha ([0,2] ) (2.1.41-mashq)
19. (xy '+ (x + 1) y = e ^ {x ^ 2}, quad y (1) = 2 ); (h = 0.05,0.025,0.0125 ) bo'yicha ([1,1.5] ) (2.1.42-mashq)
3.3.4
In 3.3.20-3.3.22 mashqlari Runge-Kutta usuli va Runge-Kutta yarim chiziqli usulidan foydalanib, ko'rsatilgan qadam o'lchamlari bilan berilgan boshlang'ich qiymat masalasini hal qilishning taxminiy qiymatlarini intervalda 11 ta teng masofada joylashgan nuqtalarda (so'nggi nuqtalarni hisobga olgan holda) toping.
20. (y '+ 3y = xy ^ 2 (y + 1), quad y (0) = 1 ); (h = 0.1,0.05.0.025 ) bo'yicha ([0,1] )
21. ({y'-4y = {x over y ^ 2 (y + 1)}), quad y (0) = 1} ); (h = 0.1,0.05.0.025 ) bo'yicha ([0,1] )
22. ({y '+ 2y = {x ^ 2 over1 + y ^ 2}, quad y (2) = 1} ); (h = 0.1,0.05.0.025 ) bo'yicha ([2,3] )
3.3.5
23. (- x_0 <-a ) bo'lishi uchun (a<="" p="" >
[z '= - f (-x, z), quad z (-x_0) = y_0, ]
([- x_0, -a] ) bo'yicha, keyin (y = z (-x) ) ning echimi
[y '= f (x, y), quad y (x_0) = y_0, ]
([a, x_0] ) da.
24. Runge-Kutta usulidan (h = 0,1 ), (h = 0,05 ) va (h = 0,025 ) qadam o'lchamlari bilan eritmaning taxminiy qiymatlarini toping.
[y '= {y ^ 2 + xy-x ^ 2 dan x ^ 2} gacha, quad y (2) = - 1 ]
(x = 1.1 ), (1.2 ), (1.3 ),… (2.0 ) da. Ushbu taxminiy qiymatlarni aniq echimning qiymatlari bilan taqqoslang
[y = {x (4-3x ^ 2) over4 + 3x ^ 2}, ]
bu misolga murojaat qilish orqali olinishi mumkin
Misol ( PageIndex {1} ):
Bu erga matn qo'shing. Avtomatik raqam ishlashi uchun siz "AutoNum" shablonini qo'shishingiz kerak (afzalroq 2.4.3}.
25. Runge-Kutta usulidan (h = 0,1 ), (h = 0,05 ) va (h = 0,025 ) qadam o'lchamlari bilan eritmaning taxminiy qiymatlarini toping.
[y '= - x ^ 2y-xy ^ 2, quad y (1) = 1 ]
(x = 0 ), (0.1 ), (0.2 ),…, (1 ) da.
26. Runge-Kutta usulidan (h = 0,1 ), (h = 0,05 ) va (h = 0,025 ) qadam o'lchamlari bilan eritmaning taxminiy qiymatlarini toping.
[y '+ {1 x = y = {7 x ^ 2} +3, quad y (1) = {3 over2} ]
(x = 0.5 ), (0.6 ),…, (1.5 ) da. Ushbu taxminiy qiymatlarni aniq echimning qiymatlari bilan taqqoslang
[y = {7 ln x ustidan x} + {3x over2}, ]
2.1 bo'limida muhokama qilingan usul bo'yicha olinishi mumkin.
27. Runge-Kutta usulidan (h = 0,1 ), (h = 0,05 ) va (h = 0,025 ) qadam o'lchamlari bilan eritmaning taxminiy qiymatlarini toping.
[xy '+ 2y = 8x ^ 2, quad y (2) = 5 ]
(x = 1.0 ), (1.1 ), (1.2 ),…, (3.0 ) da. Ushbu taxminiy qiymatlarni aniq echimning qiymatlari bilan taqqoslang
[y = 2x ^ 2- {12 dan x ^ 2} gacha, ]
2.1 bo'limida muhokama qilingan usul bo'yicha olinishi mumkin.
28. Raqamli kvadrat (qarang 3.1.23-mashq).
a. Kvadratura formulasini chiqaring
[ int_a ^ bf (x) , dx taxminan {h over6} (f (a) + f (b)) + {h over3} sum_ {i = 1} ^ {n-1} f (a + ih) + {2h over3} sum_ {i = 1} ^ nf chap (a + (2i-1) h / 2 right) tag {A} ]
(bu erda (h = (b-a) / n) ) boshlang'ich qiymat muammosiga Runge-Kutta usulini qo'llash orqali
[y '= f (x), quad y (a) = 0. ]
Ushbu kvadratsiya formulasi deyiladi Simpsonning qoidasi.
b. (A ), (b ), (A ), (B ), (C ) va (D ) ning bir nechta tanlovi uchun (A) dan (f (x) gacha ) = A + Bx + Cx + Dx ^ 3 ), bilan (n = 10 ), (20 ), (40 ), (80 ), (160 ), (320) ). Natijalaringizni aniq javoblar bilan taqqoslang va topganlaringizni tushuntiring.
v. (A ), (b ), (A ), (B ), (C ), (D ) va (E ) tanlovlari uchun (A) (f (x) = A + Bx + Cx ^ 2 + Dx ^ 3 + Ex ^ 4 ) ga (n = 10,20,40,80,160,320 ) bilan. Natijalaringizni aniq javoblar bilan taqqoslang va topganlaringizni tushuntiring.

(F (x, y) ) doimiy funktsiyani ko'rib chiqing, bu erda (x ) mustaqil o'zgaruvchi va (y ) bog'liq o'zgaruvchi: [ frac= f (x, y). ] Bizning maqsadimiz (y (x) ) ni topish va bunga erishishimiz kerak:

(y = y_0 ) qiymatini (x = x_0 ) ning boshlang'ich qiymatida bilish
( Delta x ) o'lchamdagi cheklangan qadamlar yordamida dastlabki nuqtadan oldinga qadam
(y ) ning har bir qadam uchun qancha o'zgarishini bilish ( x )
RK4 usulida mustaqil o'zgaruvchi bosqichma-bosqich oshiriladi va har bir qadam oxirida bog'liq o'zgaruvchining yangi qiymati quyidagicha hisoblanadi: [y_ = y_i + frac <1> <6> (k_1 + 2k_2 + 2k_3 + k_4), x_ = x_i + Delta x, ]
bu erda ( Delta x ) o'sish, (k_1, k_2, k_3 ) va (k_4 ) quyidagicha hisoblangan qiyaliklar: [k_1 = Delta xf (x_i, y_i), k_2 = Delta xf (x_i + 0.5 Delta x, y_i + 0.5 k_1), k_3 = Delta xf (x_i + 0.5 Delta x, y_i + 0.5 k_2). k_4 = Delta xf (x_i + Delta x, y_i + k_3). ]
Ushbu daftarda biz ODElarni ushbu usul bilan qanday qilib birlashtirishni bilib olamiz.
Dastlab, RungeKutta funktsiyasini yarataylik, u qiyaliklarni hisoblab chiqadi va (x ) va (y ) ni yangi bosqichga qaytaradi.
ODE ning analitik echimi [f (x, y) = frac= x ^ 2, ] boshlang'ich qiymatlari (x_0 = 1 ) va (y_0 = 1 ) $ [y (x) = frac<3>+frac<2> <3>. ]
Keling, ushbu tenglamani RK4 usuli bilan sonli ( Delta x = 0,1 ) va yakuniy pozitsiya (x_) bilan echaylik.=2.)
Avvaliga (f (x, y) ) funktsiyamizni dxdy1 va analaytik echimni y1 sifatida aniqlaymiz:
Endi biz muammoga dastlabki qiymatlarni o'rnatishimiz kerak - boshlang'ich pozitsiyalar (x_0 ) va (y_0 ), shuningdek o'sish va tugash holati:
RK4 usuli bilan echim topish uchun biz (x ) qiymatlari bo'ylab har qadamda ( Delta x ) ga oshirib, ularni (x_)). Bundan tashqari, (x ) va (y ) qiymatlari qo'shilgan ro'yxatlarni yaratamiz, shunda ularni keyinchalik tuzishimiz mumkin.
Avval aytib o'tganimizdek, RK4 usuli to'rtinchi tartibda, Eyler usuli esa ikkinchi darajali aniqlikda. Yechimlarni taqqoslash uchun biz Eyler funktsiyasini ham aniqlaymiz va shunga muvofiq ODE ni echamiz.
Biz natijalarni bitta grafada birgalikda tuzishimiz mumkin:

Ko'rib turganimizdek, Runge-Kutta Eyler uslubiga qaraganda ancha aniqroq. Shuning uchun ODE-larni integratsiya qilishda u tez-tez ishlatiladi. Bunday holda Eyler usuli analitik echimni kam baholagan.