3-Ma’ruza Chiziqlimas tenglamalarni yechish usullari: Iterasiya va Nyuton usullari. Geometrik usullar

---

3-Ma’ruza 

Chiziqlimas tenglamalarni yechish usullari: Iterasiya va Nyuton usullari.

 

Geometrik 

usullar.

 Nyuton, oddiy iteratsiya, vatarlar, Chebishev usullari.

 

Reja: 

1.

 

Iteratsiya usuli 

2.

 

Iteratsiya usulining yaqinlashish shartlari 

3.

 

Nyuton usuli 

4.

 

Vatarlar usuli 

 

Tayanch  iboralar

:

  ildizlarning  yagonaligi,  grafik  usul,  dastlabki  yaqinlashish,  iterasiya, 

boshlang’ich  yaqinlashish,  iterasiyaning  geometrik  ma’nosi,  hisoblash  xatosi,  Nyuton 

usuli  

 

Oddiy iterasiya metodi.

 Biz hozir oddiy iterasiya (yoki ketma-ket yaqinlashish) metodi 

bilan bitta sonli tenglama misolida tanishamiz. Bu metodning umumiy nazariyasn bilan keyingi 

paragrafda  tanishib  chiqamiz.  Iterasiya  metodini  qo’llash  uchun 

 

tenglama  unga  teng 

kuchli bo’lgan quyidagi 

                                                        (7) 

kanonik  shaklga  keltnrilgan  va  ildizlari  ajratilgan  bulishi  kerak.  (7)  tenglamaning  ildizi  yotgan 

atrofiing biror 

 nuqtasini izlanayotgan ildizning nolinchi yaqinlashishi deb olamiz. Navbatdagi 

yakinlashishini  topish  uchun  (7)  ning  o’ng  tomoniga 

  ni  qo’yamiz  va  hosil  bo’lgan 

 

qiymatini 

 bilan bolg’ilaymiz, ya’ni 

.                                                      (8) 

Topilgan 

  sonni  (7)  ning  o’ng  tomoniga  qo’yib,  yangi  son 

  ni  hosil  qilamiz.  Bu 

jarayonni davom ettirib, f-yaqinlashish 

x

p

 

ni 

(p-

1)- yaqinlashish 

x

p-1

  

yordamida topamiz: 

.                                              (9) 

Bu formula yordamida topilgan sonlar ketma-ketgilining limiti ya’ni 

                                                       (10) 

mavjud va 

 funksiya uzluksiz bo’lsa, (3.3) tenglikning ikkala tomonida limitga o’tib,  

, 

ya’ni 

 

ga  ega  bo’lamiz.  Bu  tenglikdan  ko’rinadlik,    berilgan  tenglamaning  ildizi  ekan.  Demak,  bu 

ildizni (9) formula yordamida istgalgan aniqlik bilan hisoblash mumkin, (10) limit mavjud bo’lgan 

holda iterasiya jarayoni 

yaqinlashuvchi 

deyiladi. Lekin 

 mavjud bo’lmasligi ham mumkin, 

bunday holda oddiy iterasiya usuli maqsadga muvofiq bo’lmaydi. 

Iterasiya metodi sodda geometrik ma’noga ega. Buni tushunish uchun 

 va 

 

funksiyalarning  grafiklarini  chizamiz.  Bu  grafiklarning  kesishgan  M  nuktasining  abssissasi  (7) 

tenglamaning 

 ildizldir. 

Faraz qilaylik, 

x

0

 

nolinchi yaqinlishish bo’lsin, u vaqtda 

 

nuqta 

 egri 

chiziqda  yotadi.  Bu  nuqtadan  gornzontal  (

ox 

o’qiga parallel) chiziq o’tkazamiz. Bu chiziq 

u=x 

bissektrisani 

  nuqtada  kesadi. 

 

ni 

 

bilan  belgilab  olsak, 

  nuqtaning 

koordinatalari 

  ko’rinishga  ega  bo’ladi. 

  nuqta  orqali 

ou 

o’qqa parallel to’g’ri chiziq 

0

)

(



x

f

)

(

x

x





0

x

0

x

)

(

0

x



1

x

)

(

0

1

x

x





1

x

)

(

1

2

x

x





)

.

.

.

,

2

,

1

(

)

(

1







n

x

х

n

n











n

n

x

lim

)

(

x



)

(

)

lim

(

)

(

lim

lim

1

































n

n

n

n

n

n

x

x

x

)

(











n

n

x





lim

)

(

x

y





x

y







x

))

(

,

(

0

0

0

x

x

A



)

(

x

y





))

(

),

(

(

0

0

1

x

x

B





)

(

0

x



1

x

1

B

)

,

(

1

1

x

x

1

B

---

o’tkazsak,  u 

  egri  chiziqni 

  nuqtada  kesadi.  Bu  jarayonni  davom  ettirib, 

 

bissektrisada  yotgan 

  (bu  yerda 

) so’ng 

  egri chiziq  ustida 

 nuqtaga ega bo’lamiz va h.k. 

 

 

5-chizma

 

 

6-chizma 

 

Agar  iterasiya  jarayoni  yaqinlashsa,  u  vaqtda 

 

nuqtalar  izlanayotgan 

M 

nuqtaga  yaqinlashadi. 

 

nuqtalarning 

  abssissalari 

 

ga,  ya’ni  (7) 

tenglamaning  ildiziga  yaqinlashadi.  Shunday  qilib,  iterasiya  metodining  geometrik  ma’nosi 

quyidagidan  iborat: 

  egri  chiziq  bilan  koordinatalar  burchagi  bissektrisaning  kesishish 

nuqtasiga siniq chiziq bo’ylab harakat qilamiz, siniq chiziqning uchlari navbat bilan egri chiziq va 

bissektrisa ustida yotadi, tomonlari esa navbat bilan gornzontal va vertikal yo’nalgan bo’ladi. Agar 

egri  chiziq  va  bissektrisa  5-chizmadagidek  joylashgan  bo’lsa,  u  vaqtda  siniq  chiziq  zinapoyani 

eslatadi.  Agar  egri  chiziq  va  bissektrisa  6-  chizmadagidek  bo’lsa,  unda  siniq  chiziq  spiralni 

eslatadi. 

 Iterasion jarayon uzoqlashishi ham mumkin. Buning geometrik ma’nosi shundan iboratki, 

zinapoyaning pog’onalari (yoki spiralning bug’inlari) borgan sari kattalashadi, shuning uchun ham 

 

nuqtalar 

M 

ga yaqinlashmaydi,

 

balki uzoqlashadi (7-8-chizmalar). 

 

 

7-chizma

 

 

8-chizma

 

 

Modomiki,  iterasiya  jarayoni  har  doim  yaqinlashavermas  ekan,  demak,  bu  jarayon 

yaqinlashishi  uchun  qanday  shartlar  bajarilishi  kerakligini    aniqlash  kata  ahamiyatga  ega.  Bu 

shartlar Ushbu teoremada ko’rsatiladi. 

)

(

x

y





))

(

,

(

1

1

1

x

x

A



x

y



)

,

(

2

2

2

x

x

B

)

(

1

2

x

х





)

(

x

y





))

(

,

(

2

2

2

x

x

A



,...

,...,

,

1

0

n

A

A

A

,...

,

,

2

1

0

A

A

A

,...

,

,

2

1

0

x

x

x



)

(

x

y





,...

,

,

2

1

0

A

A

A

---

 

I-  teorema.

  Faraz  qilaylik,   

 

funksiya  va  dastlabki  yaqinlashish 

  quyidagi 

shartlarni qanoatlantirsin:  

1)  

 funksiya 

                                                           (11) 

oraliqda  aiqlangan  bo’lib,  bu  oraliqdan  olingan  ixtiyoriy  ikkita 

  va 

  nuqtalar  uchun 

 

Lipshis shartini qanoatlatirsin: 

;                                             (12) 

2) quyidagi tengsizliklar bajarilsin: 

.                                                   (13) 

U holda (7) tenglama (11) oraliqda yagona 

 ildizga ega bo’lib, 

 

ketma-ketlik bu yechimga 

intiladi va intilish tezligi 

                                                         (14) 

tengsizlik bilan aniqlanadi. 

 

  

  

 

Isbot. 

Avval induksiya metodnni 

qo’llab,

 ixtiyoriy 

p 

uchun 

 ni ko’rish mumkinligini, 

 

ning (11) oraliqda yotishligi va 

                                                         (15) 

tengsizlikning bajarilishini ko’rsatamaz. 

Agar 

p = 0 

bo’lsa, 

 bo’lgani uchun (15) tengsizlik (13) dan kelib chiqadi. 

Bundan tashqari, 

  bo’lgani  uchun 

 tengsizlik bajarilib, 

 (11) 

oraliqda yotadi. Endi faraz qilaylik, 

 

lar qurilgan bo’lib, ular (11)   oraliqda yotsish va 

 

tengsizliklar  bajarilsin.  Induksiya  shartiga  ko’ra 

  (11)  da  yotadi, 

  (11)  da  aniqlangan, 

shuning uchun ham 

 ni ko’rish mumkin. Teoremaning 1-shartidan 

 

kelib chiqadi. Lekin 

 

va 

 

uchun induksiya shartiga ko’ra 

 

o’rinli, demak, 

. 

Bu esa 

 va 

 uchun (15) tengsizlikning bajarilshini ko’rsatadi. Nihoyat, 

 

munosabatlar 

 ning (11) oraliqda  yotishini ko’rsatadi. Shu bilan isbot qilinishi talab etilgan 

mulohaza tasdiqlanadi. 

Endi 

  ning  fundamental  ketma-ketlik  tashkil  etishini  ko’rsatamiz.  (15)  tengsizlikka 

ko’ra ixtiyriy 

 

natural son uchun 

)

(

x



0

х

)

(

х









0

x

x

x

y

)

(

x



)

1

0

(

|

)

(

)

(

|











q

y

x

q

y

x





















q

x

х

n

1

,

|

)

(

|

0



}

{

n

x

n

n

q

q

x







1

|

|





n

x

n

x

n

n

n

q

x

x









|

|

1

)

(

0

1

x

х

















q

1







|

|

0

1

x

х

1

x

n

x

x

x

,...,

,

2

1

)

1

,...,

1

,

0

(

|

|

1











n

k

q

x

x

k

k

k



n

x

)

(

x



)

(

1

n

n

x

x







1

1

1

|

)

(

)

(

|

|

|

















n

n

n

n

n

n

x

x

q

x

x

x

x





1



n

x

n

x

1

1

|

|









n

n

n

q

x

x



n

n

n

q

x

x









|

|

1

1



n

x

n

x

n

n

n

n

n

n

n

n

n

q

q

q

q

q

q

x

x

x

x

x

x

x

x















































1

1

1

.

.

.

|

|

.

.

.

|

|

|

|

|

|

1

1

0

1

1

1

0

1











1



n

x

}

{

n

x

p

---

 

yoki  

.                                                   (16) 

Bu tengsizlikning o’ng tomoni 

 

ga bog’liq bo’lmaganligi va 

 bo’lganidan 

 

ketma-

ketlikning fundamentalliga va uning limiti 

 

mavjudligi kelib chiqadi. 

 

ketma-ketlik 

(11) oraliqda yotgani uchun ham shu oraliqda yotadi. (12) shartdan 

 ning uzluksizligi kelib 

chshqadi,  shuning  uchun  ham 

  tenglikda  limitga  o’tib, 

  (7)  tenglamaning  ildizi 

ekanligini isbot qilamiz. 

Endi 

  ildizning  (11)  oraliqda  yagonaligini  isbotlaymiz.  Faraz  qilaylik, 

  (7) 

tenglamaning (11) oraliqdagi boshqa biror ildizi bo’lsin, 

 ekanini ko’rsatamiz. Haqiqatan ham, 

(6)

 

ga ko’ra 

, 

 bo’lgani uchun bu munosabat faqat 

 bo’lgandagina bajariladi. 

Yaqinlashish  tezligini  ko’rsatuvchi  (14)  tengsizlikni  keltirib  chiqarish  uchun  (16) 

tengsizlikda 

 

limitga o’tish kifoyadir. Teorema isbot bo’ldi.