3-Мавзу: Ночизиқ тенглама учун итерация усули

3-Мавзу: Ночизиқ тенглама учун итерация усули.
Режа:

1. 
   Ночизиқ тенглама тўғрисида тушунчалар.
   
2. 
   Илдизларни ажратиш масаласи.
   
3. 
   Тақрибий ечимлар.
   

Асосий тушунчалар: Ночизиқ тенглама тўғрисида умумий тушунчалар, илдизларни ажратиш, битта тенглама учун итерация усули ва унинг хатолигини баҳолаш, тенгламани итерация усулини қўллаш учун қулай кўринишга келтириш, усулнинг дастури, яқинлашиш шарти.
Асосий натижалар:
1.Ночизиқ тенглама тўғрисида тушунчалар: аниқ ечим.
2.Илдизларни ажратиш масаласи .
3.Тақрибий ечимлар : .
4.Итерация усули аниқ ечимнинг тақрибий қийматларини беради:

,
.
Бу ерда функция тенглама учун ҳисоблаш усулларида муҳим бўлган итерацияловчи функция, итератор дейилади.
4. Ньютон итерация усуллари:
-Ньютон итератори.
5. Mathcad нинг ички функциялари: бир ноъмалумли ночизиқ тенгламаларни ечиш учун стандарт ички функциялар polyroots(v)
( кўпҳадли тенглама , -учун), (ихтиёрий тенглама -учун).
1. Математикада тенгламалар чизиқли, алгебраик, тригонометрик, кўрсаткичли каби гуруҳларга бўлинади. Олий математикада яна дифференциал ва интеграл тенгламалар пайдо бўлади. Ночизиқ тенгламалар турли амалий масалаларни ечишда ўз-ўзидан пайдо бўлади.
Бир неча мисол кўрамиз.
1) классик бўлиб кетган берилган бурчакни учга тенг бўлиш масаласи ушбу формулага асосан кубик тенгламага олиб келади:

Агар десак қуйидаги кубик тенгламани оламиз:
.
Бурчакни n-та қисмга бўлиш масаласи n-тартибли алгебраик тенгламани яратади:
.
2) иррационал сонини нималигини билмоқчимиз. У ҳолда икки марта квадратга кўтариш ушбу тенгламага олиб келади: .
3) чегаравий масалани қарайлик. Равшанки, ушбу функция тенгламани ва биринчи чегара шартни қаноатлантиради.Иккинчи чегара шарт қаноатланиши учун , бўлиши керак. Яна ночизиқ тенгламага келдик: . Бу транцендент тенглама.
4)Жониворларнинг кўпайишининг Мальтус моделини қарайлик:
.
Бу ерда -жониворларнинг t вақтдаги сони, –уларнинг дастлабки вақтдаги сони, v-миграция (бошқа жойдан келиб қўшилганлар) сони, ламбда ўзгариш миқдори. Бу масаланинг ечими қуйидаги кўринишдаги берилад:
.
Ф.қ. ва ламбдани топиш учун ушбу транцендент тенгламани ҳосил қиламиз:
.
5) Соснадан ясалган, зичлиги га тенг r радиусли шар сувга туширилгач d чуқурликка чўккан. Шарнинг қандай қисми сув остида бўлади. Архимед қонунига асосан, шар массасига тенг сув сиқилиб чиқарилади: ,
.
Яна кубик тенглама ҳосил бўлди.
Бундай мисолларни кўпдан кўп келтириш мумкин. Масалан, қурилиш механикасида ҳам чизиқли ихтиёрий ноъмалумли тенгламалар системаси ва ихтиёрий даражадаги алгебраик тенглама пайдо бўлади.
Абель, Галуа назариясидан маълумки, 5 ва ундан юқори даражали тенгламаларнинг ечимларини формулалар ёрдамида элементар функциялар ёрдамида аниқ ёзиш мумкин эмас. Шунинг учун, ночизиқ тенгламалар ва уларнинг системалари тақрибий ечилади.
Баъзи бир таъриф ва теоремаларни келтирамиз. функция да аниқланган ва узлуксиз бўлсин. тенгликни қаноатлантирувчи нуқта тенгламани ечими ёки илдизи дейилади.