4 – Маъруза. Чизиқли алгебраик тенгламалар системаcини ечишнинг итерацион методлари. Стационар итерацион методлар

4 – Маъруза.
Чизиқли алгебраик тенгламалар системаcини ечишнинг итерацион методлари. Стационар итерацион методлар.


Режа.

1. 
   Стационар итерацион методла яқинлашишининг зарурий ва етарли шартлари.
   
2. 
   Стационар итерацион методлар хатолигининг яқинлашиш тезлигини бахолаш.
   

Стационар итерацион методлар яқилашишининг зарурий ва етарли шартлари.
1.Кириш.
Фараз қиламиз
Ax=f (1)
A=[a_ij] , i,j=1,2,...,n - хақиқий квадрат матрица берилган булсин. А^-1 мавжуд деб фараз қиламиз.
(2)
бу ерда k-итерация номери, х⁽⁰⁾ - берилган бошлангич якинлашиш, x^k=(x^k₁,x^k₂,...x^k_n)^T, бир қадамли итерацион методнинг каноник куринишдаги ёзуви деб айтилади. B_k+1 ва _k+1, у ёки бу итерацион методини аниқлайдилар. Бу ерда.
(3)
стационар метод батафсил қаралади. (3)-итерацион метод хатолиги u ^k=x^k -x , бу ерда х (1) - системанинг аниқ ечими.
(4)
òåíãëàìàíè қàíîàòëàíòèðàäè.
(3) - методнинг яқинлашиши , ^k - нинг бирор нормада нолга яқинлашиши демакдир. (4) - тенгламани u^k+1 -га нисбатан ечсак
^k+1 = (E-B^-1A) ^k , (5)
хосил булади.
S=E -B^-1A , (6)
матрица k- яқинлашишдан k+1 – яқинлашишга утиш матрицаси дейилади. Итерацион метод яқинлашишини текшириш учун u^k ва u ларни бирор бир n- улчовли H вектор фазосининг элементлари сифатида қараймиз. А матрицанинг х вектор нормасига мос нормаси дейилганда

сон тушунилади.
Н вектор фазода вектор нормасини турлича киритиш мумкин.
Биз х нормасини

каби аниқлаймиз.
Бу нормага мос А нинг нормаси

каби аниқланади.

2.Итерацион метод яқинлашиши хақидаги теорема.

1-теорема. Ихтиерий бошлангич яқинлашиш учун (3)-итерацион метод S=E-B^-1A матрицанинг барча хос қийматларининг абсолют қийматлари бирдан кичик булганда ва фақат шундагина яқинлашади.
Исбот. Зарурийлиги. ^k=x^k-x хатолик учун ^k+1=S ^k тенглама мавжуд. Фараз қиламиз S матрицанинг бирор хос сони s>1 булсин. Унда шундай x⁰-бошлангич яқинлашишни танлаш мумкинки , ^k = x^k - x хатолик чексизга интилади. Фараз қиламиз , S матрицанинг |s|>1 хос сонига мос хос вектори булсин. Бошлангич яқинлашиш сифатида x⁰=x+ векторни танлаймиз. Унда ⁰=  булади. Шунинг учун (5)- дан


^k= S ^k-1 = S^{2 k-2} = ... = S^{k o} = s^k
ва бундан
|| ^k||=|s|^k|||| 
к елиб чиқади. Агар |s| = 1 булса , унда , || ^k||=||||0
Етарлилиги.(исбот): теорема шартининг етарлилигини , аввал S матрицанинг n-та чизиқли боглиқмас хос векторлари мавжуд булган холда курсатамиз. Фараз қиламиз s_l , l=1,2,...,n S матрицанинг хос қийматлари ва ^l мос хос векторлари булсинлар. ⁰=x⁰-x векторни _k - лар буйича ёйиб чиқамиз:

Унда

булади.
Исталган нормада
(7)
бунда матрицанинг спектрал радиуси.
(7)-баходан ва теореманинг <1 фаразидан методнинг яқинлашиши келиб чиқади. Умумий холда , яъни хос векторлар сони n-та дан кам булганда хам теоремани исбот қилиш қийин эмас (А.А. Самарский ва А.В.Гулин китобининг 94-95 бетига қаранг).
Бунда
(8)
бу ерда

, матрицанинг спектрал радиуси.

Стационар итерацион методлар хатолигининг яқинлашиш тезлигини бахолаш.