4-tajriba ishi mavzu: Algoritmlarni loyihalash. Funksiyalarning qiymatini xisoblashning Gorner algoritmi. Kvadrat va kubik tenglama ildizlarini aniqlash Ishdan maqsad



Download 150,63 Kb.
Sana24.06.2022
Hajmi150,63 Kb.
#701062
Bog'liq
4-tajriba.Gorner algoritmi.kvadrat va kubik tenglamalar


4-TAJRIBA ISHI
Mavzu: Algoritmlarni loyihalash. Funksiyalarning qiymatini xisoblashning Gorner algoritmi. Kvadrat va kubik tenglama ildizlarini aniqlash


Ishdan maqsad: Algoritmlarni samaradorligini baholash. Funksiyalarning qiymatini xisoblashning Gorner algoritmi. Kvadrat va kubik tenglama ildizlarini aniqlash algoritmini ishlab chiqish.


Nazariy qism


Gorner algoritmi. Ko`phadning ildizlari.
(Etyen Bezu (1730-1783) – fransuz matematigi). P(x) ko`phadni x-a ikkihadga bo`lganda bo`linmada Q(x), qoldiqda R(x) qolsin:
P(x)=(x-a)Q(x)+R(x)
Agar bu munosabatga x=a qo`yilsa, P(a)=0∙Q(a)+R(a)=R(a)=r hosil bo`ladi. Shu tariqa ushbu teorema isbotlanadi:
1-teorema (Bezu). P(x)=a0xn+a1xn-1+...+an-1x+an(a≠0) ko`phadni x-a ga bo`lishdan chiqadigan r qoldiq shu ko`phadning x=a dagi qiymatiga teng, r=P(a).
Masalan, 1) x5+x+20 ni x+2 ga bo`lishdan chiqadigan qoldiq r=(-2)5+(-2)+20=-14; 2) x5+x+34 ni x+2 ga bo`lishdan chiqadigan qoldiq r=(-2)5+(-2)+34=0.
Demak, x=-2 soni shu ko`phadning ildizi.
Natijalar. n€N bo`lganda:

  1. xn-an ikkihad x-a ga bo`linadi. Haqiqatan, P(a)=an-an=0;

  2. xn+an ikkihad x-a ga bo`linmaydi. Haqiqatan, P(a)=an+an=2xn≠0;

  3. x2n-a2n ikkihad x+a ga bo`linadi. Haqiqatan, P(-a)=(-a)2n-a2n=0;

  4. x2n+1-a2n+1 ikkihad x+a ga bo`linmaydi. Haqiqatan, P(-a)=(-a)2n+1-a2n+1=-2a2n+1≠0;

  5. x2n+1-a2n+1 ikkihad x+a ga bo`linadi. Haqiqatan, P(-a)=(-a)2n+1+a2n+1=0;

  6. x2n+a2n ikkihad x+a ga bo`linmaydi. Haqiqatan, P(- a)=a2n+a2n=2a2n≠0;

Bo`lish bajariladigan hollarda bo`linmalarning ko`rinishini aniqlaymiz:
x5-a5=(x-a)(x4+ax3+a2x2+a3x+a4);
x5+a5=(x+a)(x4-ax3+a2x2-a3x+a4);
x6-a6=(x-a)(x5+ax4+a2x3+a3x2+a4x+a5);
x6-a6=(x+a)(x5-ax4+a2x3-a3x2+a4x-a5).
Bulardan ko`rinadiki, bo`linma albatta bir jinsli ko`phad bo`lib, x ning darajalari kamayib, a ning darajalarida o`sish tartibida joylashgan va agar bo`luvchi a+x bo`lsa, koeffitsiyentlar +1 va -1 almashib keladi, agar bo`luvchi x-a bo`lsa, bo`linmada hosil bo`lgan ko`phadning koeffitsiyentlari 1 ga teng bo`ladi. Bu xulosalarni istagan darajali ko`phadlar uchun umumlashtirish mumkin.
1-misol. x5-ax+4 ni x+3 ga bo`lishdagi qoldiq r=4 bo`lsa, a ni toping.
Yechish. (-3)5-a∙(-3)+4=4, bundan a=81.
P(x)=a0xn+a1xn-1+a2xn-2+...+an ko`phadni x-a ikkihadga bo`lishdagi qoldiqni hisoblashning Gorner (Xorner Uilyam (1786-1837) – ingliz matematigi) sxemasi deb ataluvchi usulini ko`rsatamiz.
P(x)=Q(x)(x-a)+r
bo`lsin. Bunda
Q(x)=b0xn-1+b1xn-2+b2xn-3+...+bn-1.
(1) da x ning bir xil darajalari oldidagi koeffitsiyentlarni tenglashtirib quyidagiga ega bo`lamiz:
a0=b0
a1=b1-αb0
a2=b2-αb1
.......
an-1=bn-1-αbn-2
an=r-αbn-1
Bundan ko`rinadiki, b0=a0, bk=αbk-1+ak, k=1,2,..., n-1, r=an+αbn-1.
Bo`linma va qoldiqni hisoblash quyidagi jadval yordamida topiladi.





a0

a1

a2

...

an-1

an

α




αb0+a1

αb1+a2

...

αbn-2+an-1

αbn-1+an




b0=a0

b1

b2

...

bn-1

r

2-misol. x3+4x2-3x+5 ko`phadni Gorner sxemasidan foydalanib, x-1 ga bo`lishni bajaramiz.







1

4

-3

5

1

1

5

2

7

Demak, x3+4x2-3x+5=(x-1)(x2+5x+2)+7.


Bezu teoremasidan P(x) ko`phadni ax+b ko`rinishdagi ikkihadga bo`lishda hosil bo`ladigan r qoldiq P(-b/a) ga teng bo`lishi kelib chiqadi.
3-misol. P3(x)=x3-3x2+5x+7 ni 2x+1 ga bo`lishdan hosil bo`lgan qoldiqni toping.
Yechish. Qoldiq r=P3(-1/2)=(-1/3)3-3∙(-1/2)2+5∙(-1/2)+7=29/8 ga teng.
2-teorema. Agar α soni P(x) ko`phadning ildizi bo`lsa, P(x) ko`phad x-a ikkihadgaqoldiqsiz bo`linadi.
Isbot. Bezu teoremasiga ko`ra, P(x) ni x-a ga bo`lishdan chiqadigan qoldiq P(α) ga teng, shart bo`yicha esa P(α)=0. Isbot bajarildi.
Bu teorema P(x)=0 tenglamani yechish masalasini P(x) ko`phadni chiziqli ko`paytuvchilarga ajratish masalasiga keltirish imkonini beradi.
1-natija. Agar P(x) ko`phad har xil α1, ..., αn ildizlarga ega bo`lsa, u (x-α1) ... (x-an) ko`paytmaga qoldiqsiz bo`linadi.
2-natija. n-darajali ko`phad n tadan ortiq har xil ildizga ega bo`la olmaydi.
Isbot. Agar n- darajali P(x) ko`phad n+1 ta har xil α1, ..., αk+1 ildizlarga ega bo`lganda, u n+1-darajalin (x-α1)...(x-αk+1) ko`paytmaga qoldiqsiz bo`linardi. Lekin bunday bo`lishi mumkin emas.
Yuqorida qaralgan teoremalardan foydalanib, Fransua Viyet (fransuz olimi, 1540-1603) tomonidan berilgan hamda P(x)=0 butun algebraik tenglamaning ai haqiqiy koeffitsiyentlari va αi ildizlari orasidagi munosabatni ifodalovchi formulalarni keltiramiz:
1) a2x2+a1x+a0=b(x-α1)(x-α2)=bx2-b(α12)x++bα1α2. Agar x ning bir xil darajalari oldidagi koeffitsiyentlari tenglashtirilsa, b=a2 bo`ladi. Natijada ushbu formulalar topiladi:
α12=-a1/a2, α1α2=a0/a2;
2) shu tartibda P3(x)=a3x3+a2x2+a1x+a0 uchun:
α123=-a2/a3, α1α21α32α3=a1/a3, α1α2α3=-a0/a3 formulalar topiladi.
Hosil qilingan tengliklarning bajarilishi α1 ,..., αn sonlarining Pn(x)=anxn+...+a0 ko`phad ildizlari


Kvadrat tenglama ildizlarini aniqlash
Kvadrat tenglamaning ildizlarini topish vazifasi, boshqa ko'plab vazifalar singari, oson vazifadir. Uni qog’oz va qalam yordamida juda oson yechish mumkin, ammo algoritmni to’gri tanlab dasturini tuzish va undan foydalanish orqali yechimni avtomatlashtirish mumkin. Ushbu laboratoriyada biz shunday dastur algoritmini ko’rib chiqamiz.
Bilamizki, ko’rinishidagi tenglama kvadrat tenglama deyiladi. Ushbu tenglamani yechishning bir necha usullari mavjud. Ammo biz, Diskriminantlar usulidan foydalanamiz. Chunki bu usul dasturlash uchun eng optimal usul hisoblanadi.
Diskriminant D harfi bilan belgilanadi. D= b2-4ac ekanligini esa, maktab kursidan bilamiz.
Diskriminant uchun bir nechta shartlar mavjud:

  • Agar D> 0 bo'lsa, unda tenglama 2 xil haqiqiy ildizga ega.

  • Agar D = 0 bo'lsa, unda yagona ildizga ega yoki, ikkala haqiqiy ildiz teng bo'ladi.

  • Agar D <0 bo'lsa, unda yechimga ega emas yoki, ikkala ildiz ham kompleks sonlardir.

Yechish algoritmi juda oddiy. Diskriminant hisoblanadi, agar u 0 dan katta yoki unga teng bo'lsa, u holda ildizlar quyidagi formula yordamida hisoblanadi:

yoki

Kvadrat tenglama ildizlarini topish algoritmining bloksxemasini quyida ko’rishimiz mumkin.

Yakunlash

Chiqarish: x1, x1

Chiqarish: “Tenglama ildizga ega emas”




D<0

D=b2-4ac

Kiritish: a,b,c

Boshlash


Yo’q ha

Kubik tenglama ildizlarini aniqlash
Kub tenglamaning yechimi:
Ushbu tajriba ishida kubik tenglamani Vieta-Kardano usuli yordamida yechish algoritmi keltirilgan. Dastur faol(0 dan farqli) koeffitsientlar holati uchun yozilgan (ildizlar murakkab bo'lishi mumkin).
Kub tenglamasi quyidagicha yoziladi:
x3+a*x2+b*x+c=0.
Haqiqiy koeffitsientlar bo'lsa, uning ildizlarini topish uchun birinchi navbatda quyidagilar hisoblanadi:
Q=(a2-3b)/9, R=(2a3-9ab+27c)/54.
Bundan tashqari, agar R2t=acos(R/sqrt(Q3))/3,
x1=-2*sqrt(Q)cos(t)-a/3,
x2=-2*sqrt(Q)cos(t+(2*pi/3))-a/3,
x3=-2*sqrt(Q)cos(t-(2*pi/3))-a/3.
R2>=Q3 bo'lgan holatda, bitta (umumiy holat) yoki ikkita (degenerativ holatlar) haqiqiy ildiz mavjud. Haqiqiy ildizdan tashqari, ikkita kompleks ildizi mavjud. Ularni topish uchun quyidagilar hisoblab chiqiladi (Kardano formulasi):
A=-sign(R)[|R|+sqrt(R2-Q3)]1/3,
A!=0
 bo’lsa B=Q/A yoki A=0 bo’lganda B=0 .
Haqiqiy ildiz quyidagicha bo'ladi:
x1=(A+B)-a/3.
Kompleks ildizlar:
x2,3=-(A+B)/2-a/3 + i*sqrt(3)*(A-B)/2
Agar A=B bo'lsa, unda kompleks ildizlar haqiqiyga aylanadi:
x2=-A-a/3.
Cardano va Vieta formulalari maxsus funktsiyalardan foydalanishni talab qiladi va agar koeffitsientlari juda ko'p o'zgarmaydigan kub tenglamaning ildizlarini hisoblashning katta seriyasini amalga oshirish kerak bo'lsa, boshqa tez tezkor algoritmdan foydalanish kerak: (Kardano-Vyeta yordamida dastlabki yaqinlashuvni topish bilan) Nyuton usuli yoki boshqa iterativ usullar
Quyida haqiqiy koeffitsientli kub tenglamaning ildizlarini topish dasturi keltirilgan:
Avvalo tenglama koeffitsoentlari :

ko’rinishga keltiriladi.
#include /* for sqrt(), fabs(), pow(), cos(), acos(). */
#include
//#define M_PI (3.141592653589793)
#define M_2PI (2.*M_PI)
using namespace std;
int Cubic(double *x,double a,double b,double c) {
double q,r,r2,q3;
q=(a*a-3.*b)/9.; r=(a*(2.*a*a-9.*b)+27.*c)/54.;
r2=r*r; q3=q*q*q;
if(r2double t=acos(r/sqrt(q3));
a/=3.; q=-2.*sqrt(q);
x[0]=q*cos(t/3.)-a;
x[1]=q*cos((t+M_2PI)/3.)-a;
x[2]=q*cos((t-M_2PI)/3.)-a;
return(3);
}
else {
double aa,bb;
if(r<=0.) r=-r;
aa=-pow(r+sqrt(r2-q3),1./3.);
if(aa!=0.) bb=q/aa;
else bb=0.;
a/=3.; q=aa+bb; r=aa-bb;
x[0]=q-a;
x[1]=(-0.5)*q-a;
x[2]=(sqrt(3.)*0.5)*fabs(r);
if(x[2]==0.) return(2);
return(1);
}
}
int main(){
double a,b,c;
double x[3];
cin>>a>>b>>c;
int d = Cubic(x,a,b,c);
cout<<"Ildizlar soni: "< for(int i = 0; i cout<<"x"< //cout< }
}
Natija:



Laboratoriya topshiriqlari:
1.Kvadrat teglama

  1. Koeffitsiyentlari a=3, b= -6, c=2 bo’lgan kvadrat tenglama ildizlari topilsin; Tomonlari a=5, b=7, c=9 bo’lgan uchburchak yuzi topilsin.

  2. Koeffitsiyentlari a=2, b= -5, c=2 bo’lgan kvadrat tenglama ildizlari topilsin; Tomonlari a=6, b=8, c=9 bo’lgan uchburchak yuzi topilsin.

  3. Koeffitsiyentlari a=-1, b= -6, c=3 bo’lgan kvadrat tenglama ildizlari topilsin; Tomonlari a=2, b=9, c=7 bo’lgan uchburchak yuzi topilsin.

  4. Koeffitsiyentlari a=2, b= 4, c=-5 bo’lgan kvadrat tenglama ildizlari topilsin; Tomonlari a=9, b=8, c=13 bo’lgan uchburchak yuzi topilsin.

  5. Koeffitsiyentlari a=1, b=5, c=3 bo’lgan kvadrat tenglama ildizlari topilsin; Tomonlari a=5, b=7, c=9 bo’lgan uchburchak yuzi topilsin.

  6. Koeffitsiyentlari a=4, b= 6, c=-2 bo’lgan kvadrat tenglama ildizlari topilsin; Tomonlari a=8, b=16, c=9 bo’lgan uchburchak yuzi topilsin.

  7. Koeffitsiyentlari a=2, b= -7, c=4 bo’lgan kvadrat tenglama ildizlari topilsin; Tomonlari a=3, b=4, c=5 bo’lgan uchburchak yuzi topilsin.

  8. Koeffitsiyentlari a=4, b= 6, c=1 bo’lgan kvadrat tenglama ildizlari topilsin; Tomonlari a=6, b=8, c=10 bo’lgan uchburchak yuzi topilsin.

  9. Koeffitsiyentlari a=1, b= 8, c=7 bo’lgan kvadrat tenglama ildizlari topilsin; Tomonlari a=12, b=15, c=9 bo’lgan uchburchak yuzi topilsin.

  10. Koeffitsiyentlari a=4, b= 10, c=4 bo’lgan kvadrat tenglama ildizlari topilsin; Tomonlari a=6, b=7, c=10 bo’lgan uchburchak yuzi topilsin.

  11. Koeffitsiyentlari a=3, b= 10, c=3 bo’lgan kvadrat tenglama ildizlari topilsin; Tomonlari a=5, b=11, c=9 bo’lgan uchburchak yuzi topilsin.

  12. Koeffitsiyentlari a=4, b= -6, c=-4 bo’lgan kvadrat tenglama ildizlari topilsin; Tomonlari a=7, b=16, c=10 bo’lgan uchburchak yuzi topilsin.

  13. Koeffitsiyentlari a=3, b= -8, c=-3 bo’lgan kvadrat tenglama ildizlari topilsin; Tomonlari a=8, b=5, c=9 bo’lgan uchburchak yuzi topilsin.

  14. Koeffitsiyentlari a=2, b= -5, c=2 bo’lgan kvadrat tenglama ildizlari topilsin; Tomonlari a=7, b=12, c=9 bo’lgan uchburchak yuzi topilsin.

  15. Koeffitsiyentlari a=2, b= 5, c=-3 bo’lgan kvadrat tenglama ildizlari topilsin; Tomonlari a=10, b=10, c=10 bo’lgan uchburchak yuzi topilsin.

2.Kubik tenglama


Quyidagi tenglamalarning yechimlarini toping:

Download 150,63 Kb.

Do'stlaringiz bilan baham:




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©www.hozir.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling

kiriting | ro'yxatdan o'tish
    Bosh sahifa
юртда тантана
Боғда битган
Бугун юртда
Эшитганлар жилманглар
Эшитмадим деманглар
битган бодомлар
Yangiariq tumani
qitish marakazi
Raqamli texnologiyalar
ilishida muhokamadan
tasdiqqa tavsiya
tavsiya etilgan
iqtisodiyot kafedrasi
steiermarkischen landesregierung
asarlaringizni yuboring
o'zingizning asarlaringizni
Iltimos faqat
faqat o'zingizning
steierm rkischen
landesregierung fachabteilung
rkischen landesregierung
hamshira loyihasi
loyihasi mavsum
faolyatining oqibatlari
asosiy adabiyotlar
fakulteti ahborot
ahborot havfsizligi
havfsizligi kafedrasi
fanidan bo’yicha
fakulteti iqtisodiyot
boshqaruv fakulteti
chiqarishda boshqaruv
ishlab chiqarishda
iqtisodiyot fakultet
multiservis tarmoqlari
fanidan asosiy
Uzbek fanidan
mavzulari potok
asosidagi multiservis
'aliyyil a'ziym
billahil 'aliyyil
illaa billahil
quvvata illaa
falah' deganida
Kompyuter savodxonligi
bo’yicha mustaqil
'alal falah'
Hayya 'alal
'alas soloh
Hayya 'alas
mavsum boyicha


yuklab olish