8-amaliyot mashg`ulotlar. Chegaralangan va uzluksiz chiziqli funksionallar. Operatorlar fazosi. Operatorning normasi

8-amaliyot mashg`ulotlar. Chegaralangan va uzluksiz chiziqli funksionallar. Operatorlar fazosi.


Operatorning normasi
Biz oldingi mavzuda chiziqli operatorning chegaralanganligi haqidagi quyidagi ta’rifni keltirgan edik:
chiziqli operator bo‘lsin. Agar shunday son mavjud bo‘lib, ixtiyoriy uchun
(1)
tengsizlik bajarilsa, chegaralangan operator deyiladi.
1-ta’rif. (1) tengsizlikni qanoatlantiruvchi sonlar to‘plamining aniq quyi chegarasi operatorning normasi deyiladi, va u bilan belgilanadi, ya’ni

Bu ta’rifdan ixtiyoriy uchun

tengsizlik o‘rinli ekanligi kelib chiqadi.
1-teorema. normalangan fazoni normalangan fazoga akslantiruvchi chiziqli chegaralangan operatorning normasi uchun
(2)
tenglik o‘rinli.
Isbot. Quyidagicha belgilash kiritamiz
.
chiziqli operator bo‘lgani uchun

Ixtiyoriy uchun

Demak, ixtiyoriy uchun Bundan esa
. (3)
Aniq yuqori chegara ta’rifiga ko‘ra, ixtiyoriy son uchun, shunday element mavjudki,

tengsizlik bajariladi. Bu yerdan ixtiyoriy bo‘lgani uchun,
. (4)
(3) va (4) lardan tenglik kelib chiqadi.
1-tasdiq. Chiziqli chegaralangan operator uchun

tenglik o‘rinli.
Chiziqli operatorlar ustida amallar
chiziqli normalangan fazoni chiziqli normalangan fazoga akslantiruvchi chiziqli chegaralangan operatorlar to‘plamini bilan belgilaymiz. Xususan bo‘lsa .
1-natija. Ixtiyoriy va , uchun
(5)
tengsizlik o‘rinli.
(5) tengsizlikning isboti (2) tengsizlikdan bevosita kelib chiqadi.